공간 매칭에서 증가하는 간격 역학

초록

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본 논문은 서버(차량)와 사용자(요청)가 동일한 공간에서 무작위로 등장하고, 사용자는 가장 가까운 서버에 배정되는 과정을 마코프 체인으로 모델링한다. 배정 후 서버는 새로운 무작위 위치에 재배치되며, 이때 “증가하는 간격 역학(IGD)”이라 불리는 부정적 피드백이 발생한다. 1차원 원형 공간에서 분석한 결과, 시스템은 균등 배치보다도 열악한 비균형 평형에 수렴한다. 최적 배정 정책조차도 인접 서버에만 매칭하게 하여 긴 간격을 더욱 확대시키며, 2차원 시뮬레이션과 실제 맨해튼 데이터 실험에서도 동일한 현상이 관찰된다.

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상세 분석

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논문은 먼저 (X,d)라는 일반적인 거리 공간 위에 N개의 서버를 두고, 사용자와 새로운 서버의 도착을 각각 Q와 P라는 확률분포로 가정한다. 매 시점 t마다 사용자는 현재 가장 가까운 서버에 할당되고, 그 서버는 즉시 새로운 위치 yₜ∼P에 재배치된다. 이 과정은 상태공간 Xᴺ을 갖는 동질 마코프 체인으로 정의되며, X가 유한하거나 가산이면 체인은 가역적이며 유일한 불변분포 π에 수렴한다. 중요한 점은 기대 비용 E