양자 다항분포와 다광자 간섭의 조합론적 해석

초록

본 논문은 $k$‑포트 선형 광학 인터페로미터에서 $m$개의 동일 광자의 전이 확률을, 입력·출력 다항계수와 다변량 초등기하분포로 가중된 라우팅 행렬들의 코히런트 합의 제곱으로 표현한다. 클래식 다항분포는 모든 광자가 한 포트에 들어갈 때 회복되며, 라우팅 행렬 수가 늘어날수록 양자 간섭이 강화된다. 2‑포트(빔스플리터) 경우는 양자 이항분포로 축소되고, 고계 모멘트와 누적량을 통해 양자·클래식 차이를 저차 통계량으로 검증할 수 있음을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 영구함수(permanent) 표현을 라우팅 행렬 $\mathbf J$에 대한 합으로 재배열한다. $\mathbf J$는 행합이 입력 점유수 $\mathbf n$, 열합이 출력 점유수 $\mathbf c$인 $k\times k$ 정수 행렬이며, 그 존재 여부는 운송 다면체(transportation polytope)와 동형이다. 각 $\mathbf J$에 대응하는 진폭 $\mathcal A_{\mathbf J}=\prod_{i,j}U_{ij}^{J_{ij}}$는 단일광자 전이 진폭을 라우팅 횟수만큼 곱한 형태이고, 가중치 $\Omega_{\mathbf J}= \frac{\prod_i \binom{n_i}{J_{i1},\dots,J_{ik}}}{\binom{m}{c_1,\dots,c_k}}$는 다변량 초등기하분포(multivariate hypergeometric distribution)와 정확히 일치한다. 따라서 전체 전이 확률은

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