테임드 오일러 방법의 비대칭 오류 분포와 결합 단조성 조건

초록

본 논문은 결합 단조성 조건을 만족하는 초선형 성장 계수를 가진 확률 미분 방정식(SDE)에 대해 파라미터 α∈(0,1] 로 정의된 테임드 오일러 방법의 강수렴률을 α∧½ 로 증명하고, 정규화된 오류 과정의 한계 분포를 도출한다. 특히 강수렴 차수가 ½인 경우 α=½ 일 때 장기 평균 제곱오차가 가장 크게 나타나며, α>½ 인 경우는 동일한 비대칭 오류 분포를 공유한다. 가감성 잡음에 대해서도 동일한 결과가 확장된다.

상세 분석

본 연구는 기존의 전역 Lipschitz 가정을 완화하고, drift와 diffusion 계수가 초선형 성장(예: |x|^{l+1}, |x|^{l+2})을 허용하는 결합 단조성(monotonicity) 조건 하에서 수치해석을 전개한다. 핵심 아이디어는 시간 스텝 Δt=T/N 에 대해 fα(x)=f(x)/(1+(Δt)^α|x|^{2l}) 와 gα(x)=g(x)/(1+(Δt)^α|x|^{2l}) 로 정의된 테임드 오일러 스키마를 도입함으로써 급격히 증가하는 계수를 억제하고, α를 자유롭게 조정함으로써 강수렴률을 α∧½ 로 유지한다는 점이다. 이는 기존 연구에서 α가 (0,½] 로 제한되던 것을 (0,∞) 로 확장한 것으로, α가 1보다 커도 강수렴률이 저하되지 않는다.

오류 분석에서는 정규화된 오류 과정 E_N(t)=N^{½∧α}(X̂_α,N(t)-X(t)) 를 고려한다. 오류를 주도항과 여항으로 분해하고, 주도항은 조건부 Gaussian 마팅게일 형태를 띠어 Jacod의 수렴 이론을 적용한다. 특히, 초선형 성장으로 인해 여항을 무시하고 주도항만으로 한계 분포를 추정하는 전통적 방법이 통하지 않으므로, 저자들은 C(