스펙트럼 적응형 양자 신경망의 보편 근사 능력

초록

본 논문은 선형 결합 유니터리(LCU) 기법을 기반으로 한 SAQNN(스펙트럼 적응형 양자 신경망) 모델을 제안한다. SAQNN은 임의의 제곱 적분 가능 함수와 Sobolev 공간의 함수들을 L₂ 노름 기준으로 원하는 정확도까지 근사할 수 있음을 보이며, 회로 폭은 O(log n), 깊이는 O(n log n), 파라미터 수는 O(n)으로 고전적인 피드포워드 신경망보다 이론적 우위를 가진다. 또한 푸리에와 체비쉐프 기반 사이의 전환을 지원한다.

상세 분석

SAQNN은 세 가지 핵심 모듈, 즉 상태 준비(state preparation), 스펙트럼 선택(spectrum selection), 위상 주입(phase injection)으로 구성된다. 상태 준비 단계에서는 다중 제어 R_y 게이트(멀티플렉서)를 이용해 실수 진폭을 갖는 임의의 초기 상태를 효율적으로 생성한다. 이는 기존 LCU 기반 알고리즘에서 요구되는 복잡한 전역 게이트 대신 기본적인 1‑qubit 회전과 CNOT으로 구현 가능하므로 회로 깊이와 파라미터 수를 최소화한다. 스펙트럼 선택 블록은 입력 벡터 x를 회전 게이트에 재업로드함으로써 푸리에 계수 c_j 를 인코딩하고, 각 레이어는 서로 다른 주파수 성분을 선택한다. 위상 주입 단계에서는 파라미터 φ 로 조절되는 Z‑회전을 통해 계수 a 를 곱해 최종 관측값 ⟨0|U†OU|0⟩¹ᐟ² 를 얻는다. 여기서 O=|0⟩⟨0|는 전역 관측량이며, 측정 결과는 함수값의 근사치가 된다.

정리된 정리(정리 1, 2)는 L² 공간의 모든 함수에 대해 ε‑정밀도로 근사할 수 있음을 보이며, Sobolev 공간 H^s(