매우 나쁜 근사 가능 수에 대한 마르코프 정리의 정밀화

초록

본 논문은 부등식 (|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{3q^{2}}) 를 만족하는 유리근이 유한개만 존재하는 무리수 (x) 를 완전히 규정한다. 연속분수 전개가 ‘균형 문자열’로 코딩되는 경우와 동치임을 보이며, 이러한 수는 반드시 이차 초월수이거나 초월수임을 증명한다. 결과적으로 차수가 3 이상인 모든 대수적 실수는 위 부등식을 만족하는 무한히 많은 근을 가진다.

상세 분석

논문은 먼저 라그랑주값 (k(x)=\sup{c>0:\ |x-p/q|<1/(c q^{2})\ \text{가 무한히 많은 }p/q}) 와 마르코프 스펙트럼 (M) 을 소개하고, 전통적인 마르코프 정리( (L\cap(-\infty,3)=M\cap(-\infty,3)) )를 재정리한다. 핵심은 부등식 (|x-p/q|<1/(3q^{2})) 를 만족하는 근이 유한개인 경우, 연속분수 전개 (