경계 교란을 포함한 ODE와 PDE 연쇄 시스템의 입력 상태 안정화

초록

본 논문은 Dirichlet‑Robin 경계 교란과 내부 교란이 존재하는 ODE‑PDE 연쇄 시스템에 대해 백스테핑 기반 연속 경계 피드백을 설계하고, sup‑norm(최대값) 기준의 입력‑상태 안정성(ISS)을 일반화된 Lyapunov 함수법으로 증명한다. 또한 목표 시스템의 존재성과 유일성을 리프팅 기법과 반군집 반연산자 이론으로 확보하고, 수치 시뮬레이션을 통해 제안 제어기의 효과를 확인한다.

상세 분석

이 연구는 1차원 선형 포아송 방정식과 선형 ODE가 경계에서 점대점(Dirichlet) 및 Robin 형태로 연결된 구조를 다룬다. 기존 문헌에서는 주로 Neumann 혹은 내부 교란만을 고려했으며, Dirichlet 경계 교란은 Lyapunov 분석에 큰 장애가 된다는 점이 강조되었다. 저자들은 이러한 난점을 극복하기 위해 두 단계 접근법을 채택한다. 첫째, 백스테핑 변환을 이용해 원 시스템을 목표 시스템으로 변환한다. 변환 과정에서 핵심은 커널 함수 k(z,y)와 α(z)를 적절히 설계해 PDE의 비선형 항과 경계 교란을 내부 입력 형태로 재구성하는 것이다. 이때 목표 PDE는 λ₀(z)>0 인 감쇠 항을 포함한 표준 열 방정식 형태가 되며, 경계 조건은 w(1,t)=d₁(t) (Dirichlet 교란)와 w_z(0,t)=q w(0,t)+d₀(t) (Robin 교란)으로 남는다. 둘째, 일반화된 Lyapunov 함수(algebraic functional)를 도입해 sup‑norm 기반의 ISS 추정식을 유도한다. 기존 L₂‑norm 기반 방법과 달리, sup‑norm은 최대값을 직접 제어하므로 경계 교란이 직접적인 영향을 미치는 경우에도 강건한 평가가 가능하다. 저자들은 Lyapunov 후보 V(t)=|X(t)|²+∫₀¹ e^{βz} w²(z,t) dz 형태에 추가적인 가중치를 부여하고, 경계 교란 항을 K₁·sup|d₀|+K₂·sup|d₁| 형태로 상한화한다. 이를 통해 β, K₁, K₂ 등을 적절히 선택하면 전체 시스템이 KL‑함수 β와 K‑함수 γ_i 로 구성된 ISS 불등식을 만족함을 보인다.

또한, 목표 시스템의 존재성과 연속성을 보장하기 위해 리프팅 연산자를 정의하고, 생성된 반군집 연산자 Â가 Hille‑Yosida 조건을 만족함을 증명한다. 이는 sup‑norm 공간 C(