교수배정 최적화: 실제 데이터 기반 SMT·CP·MILP 비교 연구

초록

본 논문은 칼머스 대학 시스템·제어 학과의 실제 교강사 배정 데이터를 활용해 교강사 할당 문제를 수학적으로 모델링하고, SMT(Z3), CP‑SAT(OR‑Tools) 및 MILP(Gurobi·SCIP) 솔버를 비교 실험한다. 결과는 CP‑SAT가 가장 낮은 업무 편차(RMSE)를 보이며, 상용 MILP 솔버인 Gurobi가 가장 빠른 해결 시간을 기록한다는 점을 강조한다.

상세 분석

이 연구는 교강사(Teaching Assistant, TA)와 강좌 사이의 복합 제약을 정형화하기 위해 20여 개의 하드·소프트 제약을 정의하고, 이를 SMT, CP‑SAT, MILP 세 가지 최적화 패러다임으로 구현하였다. 하드 제약에는 TA의 자격·가용성(ξ), 업무 시간 총합(h), 과목 연속성(z), 과목당 최소·최대 TA 수(ν, ρ) 등이 포함되며, 소프트 제약은 업무 편차(λ), 신규 과목 수(σ), 과목당 TA 수(µ), 선호도(π) 등을 가중치 기반으로 최소화한다. 특히 SMT 모델은 소프트 제약을 가중치가 부여된 논리식으로 표현해 최적화 모드에서 전체 페널티를 최소화하도록 설계했으며, MILP과 CP‑SAT은 소프트 제약을 목표 함수에 선형 가중치 항으로 전환하였다.

실험은 2022‑2026년 5개 연도에 걸친 실제 데이터(TA 50명, 강좌 45개, 각 강좌당 최대 10개의 작업)를 사용했으며, 각 연도마다 하드·소프트 제약 파라미터를 전문가 의견에 따라 미세 조정하였다. 시간 제한 3600초 내에서 솔버별 성능을 비교한 결과, Z3는 대부분의 연도에서 시간 초과(3600초)와 높은 RMSE(68.7119.9)로 가장 열악했으며, 이는 소프트 제약을 만족시키는 데 필요한 논리식 탐색이 비효율적임을 시사한다. 반면 CP‑SAT는 평균 1349초 내에 해결하면서 RMSE를 0.2247.76으로 크게 낮추었고, 특히 2022·2023년에는 MILP 솔버보다 10배 이상 작은 편차를 기록했다. MILP 솔버 중 Gurobi는 모든 인스턴스를 33초 이하로 해결했으며, RMSE도 22.5~52.8 사이로 일관된 성능을 보였다. 오픈소스 MILP 솔버 SCIP은 3개 연도에서 시간 초과했으며, 그 결과 RMSE가 상대적으로 높았다.

이러한 결과는 문제 구조가 이산 선택과 연속적 작업 할당이 혼합된 형태임을 고려할 때, CP‑SAT가 제약 전파와 휴리스틱 탐색을 효과적으로 결합해 높은 품질의 해를 빠르게 찾는 데 유리함을 보여준다. 반면 SMT는 논리식 기반 최적화에 강점이 있지만, 복합적인 선형·정수 제약을 동시에 다루는 데는 효율성이 떨어진다. MILP는 상용 솔버가 제공하는 고성능 LP·MIP 엔진 덕분에 시간 면에서 우수하지만, 목표 함수에 소프트 제약을 단순 가중치 합으로 변환하면서 실제 업무 편차를 최소화하는 정밀도는 CP‑SAT에 미치지 못한다.

또한, 논문은 실무 적용 관점에서 “인간‑인-루프” 워크플로우를 강조한다. 제약 파라미터를 빠르게 조정하고 재해결할 수 있는 솔버 선택이 중요하며, CP‑SAT는 파라미터 변동에 대한 민감도가 낮아 반복적인 계획 회의에 적합하다. 반면 Gurobi는 대규모 인스턴스에서 실시간 의사결정이 요구될 때 유리하다.

결론적으로, 교강사 배정 문제는 전통적인 수작업 방식보다 자동화된 최적화 모델이 업무 편차 감소와 과목 연속성 향상에 크게 기여함을 입증했으며, 솔버 선택은 문제 규모·제약 복잡도·운영 요구에 따라 달라져야 함을 제시한다.