행동 피드백 SIR 모델 최적 제어와 박스 채우기 전략

초록

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본 논문은 감염률이 감염자와 감수성 비율에 따라 변하는 행동 피드백 SIR 모델을 대상으로, 감염자를 일정 임계값 이하로 유지하면서 개입 비용을 최소화하는 무한시간 최적 제어 문제를 정의한다. 일반적인 단조성 가정 하에 “박스 채우기” 전략—감염이 임계값에 도달하기 전까지는 개입을 하지 않고, 도달 후에는 최소한의 제어로 감염 비율을 임계값에 고정시킨 뒤 자연 소멸을 기다리는—이 최적임을 증명한다. 또한 단조성 가정이 깨질 경우 최적성이 무너지며, 이를 수치적 반례로 제시한다.

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상세 분석

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이 연구는 기존 SIR 모델의 한계를 보완하기 위해 감염률 β를 상태 의존 함수 β(x, y) 로 설정한 행동 피드백 SIR(CBF‑SIR) 모델을 도입한다. 여기서 x와 y는 각각 감수성 및 감염자 비율이며, β는 감수성 비율이 클수록(βₓ>0) 감염 위험이 증가하고, 감염자 비율이 클수록(β_y≤0) 사회적 거리두기 등 행동 변화로 감소한다는 두 가지 단조성 조건을 만족한다. 이러한 가정은 실제 전염병 상황에서 “감염이 늘어날수록 사람들의 경각심이 높아져 접촉을 줄인다”는 현상을 수학적으로 포착한다.

모델은 외부 제어 u(t)∈