비모수 이산 하크스 모델과 축소된 가우시안 프로세스 사전

초록

본 논문은 이산 시간 카운트 데이터에 적용 가능한 비모수 하크스 프로세스 모델을 제안한다. 베이스라인과 자기흥분 커널 모두에 독립적인 가우시안 프로세스(GP) 사전을 부여하고, 두 사전을 하나의 잠재 강도 함수로 축소(collapsed)함으로써 MAP 추정을 가능하게 한다. FFT 기반의 구조적 커널 보간을 이용해 O(T log T) 시간 복잡도로 최적화하며, 최적화된 잠재 궤적을 닫힌 형태로 베이스라인과 흥분 함수로 투사한다. 시뮬레이션과 미국 테러 사건·주간 크립토스포리디움 사례에서 기존 파라메트릭 이산 하크스 모델 대비 예측 로그우도와 해석 가능성이 크게 향상됨을 보인다.

상세 분석

이 논문은 이산 시간에서 발생하는 사건 카운트를 모델링하기 위해 기존 하크스 프로세스의 두 핵심 구성요소인 베이스라인 µ(t)와 자기흥분 커널 Φ(d)를 완전히 비모수적으로 추정한다는 점에서 혁신적이다. 먼저 베이스라인에 계절성 및 장기 추세를 포착할 수 있는 합성 커널(주기적 RBF + 선형 + 잡음)을 적용한 GP를 두어, 주기적 변동과 서서히 변하는 배경을 자연스럽게 학습한다. 흥분 커널에 대해서는 라그(lag) d에 대한 비정상성을 반영하기 위해 진폭 감쇠 a(d)=σ_f exp(−βd²)와 입력 워핑 g(d)=1−e^{−βd} βℓ_f를 도입하고, 이를 RBF 커널에 결합한 K_f(d,d′)=a(d)a(d′)k_RBF(g(d),g(d′))+ε_f²δ_{dd′} 형태의 공분산을 정의한다. β가 클수록 장기 라그에 대한 변동성을 강하게 억제해, 베이스라인이 장기 추세를 담당하고 흥분 커널은 짧은 시계열 의존성만을 설명하도록 유도한다.

핵심 기술은 두 GP 사전을 하나의 잠재 강도 ℓ(t)=b(t)+∑_{d=1}^{t−1}N(t−d)f(d) 로 결합하고, ℓ(t)를 직접 MAP 최적화 대상로 삼는 ‘collapsed’ 접근이다. 이때 ℓ(t)는 선형 연산(컨볼루션) 형태이므로 FFT를 이용한 순환 행렬 곱셈으로 O(T log T) 시간에 계산할 수 있다. 비음수 제약을 위해 λ(t)=max{0,ℓ(t)} 라는 정규화 함수를 적용했으며, 비미분점에서 발생할 수 있는 최적화 불안정을 완화하기 위해 라인 서치와 다이내믹 디밍을 결합한 그래디언트 기반 최적화 알고리즘을 사용한다.

모델 식별성 문제는 베이스라인과 흥분 기여가 서로 교환될 위험이 있기 때문에, 베이스라인 GP에 강한 계절성 구조를 부여하고, 흥분 GP에 장거리 라그를 자동으로 억제하는 β 파라미터를 도입함으로써 해결한다. 또한 브랜칭 비율 κ=∑_{d≥1}max{Φ(d),0}<1 을 사후 검증 지표로 제시해 모델이 폭발적 성장 없이 안정적으로 작동함을 확인한다.

실험에서는 다양한 형태의 합성 흥분 커널(지수형, 파워형, 다중 피크)과 시간에 따라 변하는 베이스라인을 가진 시뮬레이션 데이터를 생성하고, 제안 모델이 정확히 복원함을 보였다. 실제 데이터에서는 미국 테러 사건(주간 단위)과 크립토스포리디움(주간 감염)에 적용해, 기존 파라메트릭 이산 하크스 모델(상수·기하·음수 이항 커널) 대비 테스트 로그우도가 각각 1.8 %와 2.3 % 향상되었으며, 베이스라인은 계절적 패턴을, 흥분 커널은 급격한 폭발과 지연 효과를 명확히 드러냈다. 마지막으로 구현 코드를 오픈소스로 제공해 재현성을 확보하였다.

이러한 설계는 비모수적 유연성을 유지하면서도 O(T log T)이라는 실용적인 복잡도로 대규모 시계열에 적용 가능하게 만든다. 특히, 베이스라인과 흥분을 동시에 비모수화함으로써 장기 추세와 단기 군집 현상을 동시에 포착할 수 있다는 점이 기존 연구와 차별화되는 핵심 기여이다.