조건부 최적 경계 근사 알고리즘

초록

본 논문은 왼쪽이 제한된 이산 메쉬 위의 단변량 분포에 대한 비모수 신뢰구간을 구성하기 위해, 사전 순서(preorder)를 일반화하고, 사전 순서에 대한 조건부 최적 경계를 근사하는 세 가지 알고리즘을 제시한다. 구체적으로 사전 순서 중 사전 순 저(lexicographic low)와 고(high) 순서가 극값을 이루는 것을 보이고, 메쉬 크기에 따라 오차가 사라지는 닫힌 형태 근사식, 양자순서(quantile order)에 대한 다항식 시간 근사 스킴, 그리고 모든 메쉬 크기에 적용 가능한 몬테카를로 시뮬레이션 방법을 개발한다.

상세 분석

논문은 먼저 Ωₘ = Sₘⁿ 로 정의된 표본공간 위에 전순서(preorder) 개념을 도입한다. 전순서는 동치류와 그 위의 부분순서로 구성되며, 전순서 R에 대해 x ≲_R y 라는 표기와 x <_R y, x ∼_R y 등을 정의한다. 전순서가 부분순서(partial order) 혹은 전순서(total preorder)인 경우를 구분하고, 전순서와 일치하는 전순서(total order) T가 존재함을 Szpilrajn 연장정리를 통해 증명한다. 이때 T와 R이 “동의(agree)”한다는 정의는 x <_R y ⇒ x <_T y 로 표현된다.

다음으로 저사전 순서 T_ℓ와 고사전 순서 T_h 를 각각 정의한다. T_ℓ는 전통적인 사전 순서이며, T_h는 역방향 사전 순서이다. 두 순서는 모두 강단조(monotone)임을 증명하고, 특히 T_ℓ와 T_h 가 각각 모든 단조 전순서에 대해 하한·상한 역할을 함을 보인다. 이는 이후 조건부 최적 경계 B*_R (x) = min{E