2단계 닐포텐트 군에서 선형 디오판틴 방정식과 공액자 길이

초록

본 논문은 2단계 닐포텐트 군의 공액자 길이 함수를 선형 디오판틴 방정식의 작은 정수해 존재성에 기반해 상한을 잡고, 특정 중심 확장을 통해 차수가 任의인 다항식 성장 예시를 구성한다. 특히, 차수 m+1 인 공액자 길이 함수를 갖는 군 Gₘ 을 명시적으로 정의하고, 상한이 최적임을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 2‑step nilpotent group G 을 중앙 확장 1→Z→G→A→1 형태로 잡고, A가 아벨리안이며 Z≅ℤ^m×T(유한)라고 가정한다. 생성 집합 S={a₁,…,a_k,c₁,…,c_r}을 선택하고, 각 원소를 고유한 정규형 (a‑exponents·c‑exponents) 으로 표현한다. 두 단어 u, v 가 동형이면 A‑좌표는 일치하고, 중앙 원소들의 지수 차이는 선형 디오판틴 방정식 M x = b 로 기술된다. 여기서 M 은 커뮤테이터 계수 γ_{ij} 와 유한 차수 o_j 를 포함한 r×d 행렬이며, b 는 u, v 의 중앙 지수 차이다. 저자들은 이 행렬의 원소가 |λ_{ij}|≤k L n (L은 커뮤테이터 계수의 최대 절댓값) 로 제한됨을 보이며, 행렬을 하삼각 변환 P∈SL_d(ℤ) 로 전치해 하단 블록을 작은 값(0≤r_{m+j,t}<o_j) 으로 만든다. 이렇게 변형된 시스템 M’ x’ = b 에 대해 Borosh‑Flahive‑Rubin‑Treybig(1989)의 정리(모든 해는 증강 행렬의 r×r 소행렬식 절댓값 이하) 를 적용한다. 행렬 M’ 의 r×r 소행렬식은 최대 O(n^{m+1}) 로 제한되므로, 해 x’ 의 각 성분도 O(n^{m+1}) 이다. 따라서 길이 |w|≤C·n^{m+1} 인 공액자 w 가 존재함을 얻어, 모든 2‑step nilpotent 군에 대해 공액자 길이 함수 CL(n)≲n^{m+1} 를 증명한다.

다음으로 차수가 정확히 m+1 인 예시를 만든다. 정의된 군 G_m 은
⟨a₁,…,a_m, b₁,b₂, c₁,…,c_m |