다항식 군과 그에 얽힌 합동식 및 원주율 급수

초록

저자는 이중 이항계수를 이용해 정의한 다항식 (S_n^{(m)}(x)=\sum_{i,j=0}^n\binom ni^m\binom nj^m\binom{i+j}{i}x^{i+j}) 를 연구한다. 주요 결과는 (S_n^{(m)}(x)) 의 전개식, (m=0,1) 에 대한 닫힌 형태, 소수 (p) 에 대한 합동식, 그리고 (m=2) 를 이용한 새로운 (\pi) 급수 추측이다. 또한 (q)-로그볼록성에 관한 여러 개방된 문제를 제시한다.

상세 분석

본 논문은 이중 이항계수와 중앙 삼항계수를 결합한 새로운 다항식 군 (S_n^{(m)}(x)) 를 도입함으로써, 기존의 Apéry 수열과 Apéry 다항식 (A_n(x)) 사이의 깊은 연관성을 밝힌다. 정의식 (1.1)은 (\binom{n}{i}^m\binom{n}{j}^m\binom{i+j}{i}) 라는 세 개의 이항계수 곱에 (x^{i+j}) 를 가중한 형태로, (m=2) 일 때는 이미 알려진 Apéry 다항식과 일치함을 Labelle의 추측(7)을 통해 확인한다.

Theorem 1.1은 두 가지 중요한 전개식을 제공한다. (i)에서는 Chu‑Vandermonde 항등식 (\binom{i+j}{i}=\sum_{k=0}^{\min{i,j}}\binom{i}{k}\binom{j}{k}) 를 활용해 (S_n^{(m)}(x)) 를 단일 합으로 변형하고, 특히 (m=0) 일 때는 (1.4) 로 간단한 형태 (\sum_{k}\binom{n}{k}x^{2k}\sum_{j}\binom{j+k}{k}x^{j}) 로 정리한다. (ii)에서는 (m=1) 에 대해 Legendre 다항식 (P_n(z)) 와의 직접적인 연결고리를 보여주며, 식 (1.5) 와 재귀식 (1.6) 은 이 다항식들의 구조적 특성을 드러낸다. 특히 (1.6)은 3‑항 재귀 관계를 갖는 전형적인 정수다항식 시퀀스와 유사해, q‑log‑convexity 논의에 활용될 수 있다.

Theorem 2.1(=Theorem 1.2)에서는 소수 (p) 에 대한 합동식을 다룬다. 핵심은 (\binom{2k}{k}\equiv(-4)^k\binom{(p-1)/2}{k}\pmod p) 라는 이항계수의 모듈러 성질을 이용해 (\sum_{k=0}^{p-1}S_k^{(0)}(x)) 를 (\frac{x}{2x-1}\bigl(1+\bigl(\frac{1-4x^2}{p}\bigr)\bigr)) 로 축소한다. 여기서 ((\frac{\cdot}{p})) 는 레전드르 기호이며, (x\equiv\frac12\pmod p) 일 때는 특별히 (-\delta_{p,3}) 로 수렴한다. 이 결과는 기존의 Apéry 수열에 대한 모듈러 동등식과 직접적인 유사성을 보이며, Legendre 기호가 나타나는 점에서 이차 잔여식과의 연결을 시사한다.

Theorem 3.1(=Theorem 1.3)은 (S_n^{(1)}(x)) 의 정수성 및 p‑adic 성질을 탐구한다. Lemma 3.1을 통해 (S_n^{(1)}(x)) 를 일반화된 중앙 삼항계수 (T_n(b,c)) 로 표현하고, 이를 이용해 (\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_k^{(1)}(x)\in\mathbb Z