메티비에 그룹에서의 이중 보chner 리쥬 연산자 경계와 차원 의존성

초록

본 논문은 두 단계 비가환 리 군인 메티비에 그룹의 서브라플라시안에 대해 이중 보chner‑리쥬 평균을 정의하고, Hölder 관계 1/p=1/p₁+1/p₂를 만족하는 (p₁,p₂,p)에 대해 L^{p₁}×L^{p₂}→L^{p} 유계성을 연구한다. 핵심 결과는 유클리드 공간에서의 차원 n 대신, 메티비에 그룹의 위상 차원 d(또는 동차 차원 Q)를 사용한 매끄러움 임계값 α(p₁,p₂)를 제시한 것이다.

상세 분석

보chner‑리쥬 연산자는 고전적인 푸리에 급수·적분의 수렴 문제와 깊은 연관이 있다. 선형 경우에는 차원 n에 의존하는 임계 지수 α(p)=max{n|1/p-1/2|-1/2,0}가 알려져 있으나, 아직 완전한 해결은 되지 않았다. 최근에는 이 연산자를 이중화한 bilinear Bochner‑Riesz 연산자 B^{α}{R}가 도입되었으며, 유클리드 ℝⁿ에서 (p₁,p₂,p)가 Hölder 관계를 만족할 때 α가 어느 정도 이상이면 B^{α}{R}:L^{p₁}×L^{p₂}→L^{p}가 유계됨이 여러 연구에서 입증되었다.

본 논문은 이러한 이중 연산자를 비가환, 두 단계, 메티비에 그룹 G에 일반화한다. 메티비에 그룹은 g=g₁⊕g₂(