장기 카운트 데이터의 영점 과다와 과산포를 위한 베타이항 혼합 모델

초록

본 논문은 과산포와 영점 과다 현상이 동시에 나타나는 장기 카운트 데이터를 위해, 베타‑이항 분포에 영점 인플레이션을 결합하고 주제별 랜덤 효과를 포함한 ZIBBMR 모델을 제안한다. 최대우도 추정은 잠재 변수 확대와 확률적 근사 EM(SAEM) 알고리즘으로 수행하며, 시뮬레이션과 미생물군집 데이터 사례를 통해 기존 glmmTMB·gamlss 기반 방법보다 작은 표본에서도 정확도와 안정성이 우수함을 입증한다.

상세 분석

ZIBBMR 모델은 관측값 Y_it 를 두 단계 확률 과정으로 정의한다. 첫 단계에서 영점 인플레이션 확률 p_it 를 로짓 선형 예측식 logit(p_it)=a_i+X_it^Tα 로 모델링하고, 두 번째 단계에서는 베타‑이항 분포 BetaBin(S_it, u_it ϕ,(1‑u_it) ϕ) 를 사용한다. 여기서 u_it 는 또 다른 로짓 선형식 logit(u_it)=b_i+Z_it^Tβ 에 의해 결정되며, a_i, b_i 는 각각 평균 a, b 와 분산 σ_1^2, σ_2^2 을 갖는 정규 랜덤 인터셉트이다. 베타‑이항은 성공 확률 w_it 가 베타 분포를 따르는 이중 계층 구조를 통해 이항 분포와 연결되며, 이는 과산포를 자연스럽게 포착한다. 모델의 전체 우도는 랜덤 효과와 영점 인플레이션을 동시에 적분해야 하므로 폐쇄형 해가 존재하지 않는다. 이를 해결하기 위해 저자들은 SAEM을 채택한다. SAEM은 매 반복마다 (1) 현재 파라미터 θ^(q‑1) 조건에서 랜덤 효과 φ_i=(a_i,b_i) 를 Metropolis‑Hastings로 샘플링하고, (2) 샘플링된 φ 를 이용해 충분통계 F^(q) 를 스텝 사이즈 γ_q 로 업데이트하며, (3) 업데이트된 충분통계로부터 평균 μ^(q) 와 공분산 G^(q) 를 재계산한다. 베타‑이항 파라미터 (β,ϕ) 와 영점 인플레이션 파라미터 α 는 각각 별도의 최대화 단계에서 로그우도 함수를 직접 최적화한다. 파라미터 α, β, ϕ 에 대한 스텝도 SAEM의 스텝 사이즈 γ_q 를 적용해 점진적으로 이동한다.
알고리즘 구현에서는 세 가지 제안 분포(전반적 탐색을 위한 사전 제안, 지역적 랜덤 워크, 단일 성분 미세 조정)를 조합한 Metropolis‑within‑Gibbs를 사용한다. 다중 체인 및 다중 샘플링을 통해 조건부 평균 E(φ_i|Y) 와 공분산 Var(φ_i|Y) 을 추정하고, 이를 기반으로 중요도 샘플링(Importance Sampling)으로 관측우도 log L(θ̂) 을 근사한다. 또한 Louis’ missing information principle을 적용해 파라미터의 피셔 정보 행렬을 스토캐스틱하게 추정함으로써 표준오차와 신뢰구간을 제공한다.
시뮬레이션에서는 N∈{30,50,100}, T∈{5,10,15}의 다양한 설계와 영점 인플레이션 비율·과산포 파라미터를 변형시켜 ZIBBMR, glmmTMB, gamlss를 비교하였다. 결과는 작은 표본(N=30)에서도 ZIBBMR이 편향이 최소이고 평균제곱오차가 가장 낮으며, 95 % Wald 신뢰구간의 커버리지가 명목 수준에 가깝게 유지됨을 보여준다. 계산 시간은 glmmTMB에 비해 다소 오래 걸리지만, 메모리 사용량과 수렴 안정성에서는 경쟁력을 갖는다.
실제 데이터 적용에서는 장기간에 걸친 질소 고정 미생물군집 카운트 데이터를 분석하였다. ZIBBMR은 시간·처리군 효과를 정확히 추정하면서, 영점 인플레이션이 높은 종에 대해 베타‑이항 비율 파라미터와 영점 파라미터가 서로 다른 방향성을 보이는 점을 발견했다. 외부 벤치마크인 Zero‑Inflated Beta Regression(ZIBR)과 비교했을 때, ZIBBMR은 카운트 기반 추정과 비율 기반 추정이 일치하지 않는 경우에도 일관된 해석을 제공한다는 장점을 강조한다.