큰 가중치 모듈러 형식의 첫 음수 히케 고유값에 대한 새로운 오메가 결과

초록

저자 람주리(Youness Lamzouri)는 가중치 k가 큰 전체 모듈러 군 SL(2,ℤ)의 정칙 홀로모픽 히케 고유형 f에 대해, 가장 작은 양의 정수 n_f (λ_f(n_f)<0)가 (log k)^{1‑o(1)} 보다 크게 될 수 있음을 보였다. 이는 기존에 알려진 소수에 대한 결과 (log k)^{1/2+o(1)} 보다 강력하며, 제곱 자유 레벨 N을 허용한 일반화도 제시한다.

상세 분석

본 논문은 가중치 k가 충분히 큰 홀로모픽 히케 고유형 f∈H_k(또는 H_k^*(N))에 대해, 첫 음수 계수 λ_f(n) 가 나타나는 최소 양의 정수 n_f 를 연구한다. 기존 연구에서는 n_f 의 상한이 k^{3/4} 정도로 알려졌으며, 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서는 (log k)^2 로 개선될 수 있다는 기대가 있었다. 그러나 실제 “최악의 경우”에 대한 하한, 즉 오메가 결과는 거의 없었다. Kowalski‑Lau‑Soundararajan‑Wu(2010)는 소수 p에 대해 λ_f(p)<0 이 되는 최소 소수 p_f 가 (log k)^{1/2+o(1)} 정도까지 커질 수 있음을 보였지만, λ_f는 완전 곱셈성이 아니므로 n_f 가 p_f 보다 작을 가능성이 남아 있었다.

Lamzouri는 이 간극을 메우기 위해 두 가지 핵심 아이디어를 도입한다. 첫째, Gonek‑Montgomery이 사용한 “극히 높은 피크를 갖는 삼각함수 다항식”을 활용한다. Lemma 2.1에서 제시된 다항식 f(θ)는 θ=0에서 1의 값을 갖고, δ≤θ≤1−δ 구간에서는 지수적으로 작은 값을 가진다. 이를 통해 g(θ)=|f(θ/2π)|^2 라는 비음수 함수 g를 정의하고, g는