대수적 비에리스트렐 그룹의 트리 쌍 표현과 불가능성

초록

본 논문은 대수적 비에리‑스트렐 그룹에 대한 기존 트리 쌍 구성법을 재정리하고, 차수가 높은 다항식에 대응하는 무한히 많은 그룹이 트리 쌍 표현을 가질 수 없음을 보인다. 특히, 다항식 (a x^{2n}+b x^{n}-1)의 실근 (\beta)를 갖는 그룹 (G(0,1;\mathbb Z

상세 분석

이 논문은 먼저 Thompson 군 (F)와 그 일반화인 Brown‑Thompson 군 (F_n)에서 사용되는 트리 쌍 기법을 상세히 복습한다. (F)의 경우 구간을 이분법적으로 나누어 이진 트리로 표현하고, 두 트리 사이의 대응을 통해 원소를 나타낸다. (F_n)에서는 각 구간을 (n)등분하여 (n)자식 케어트가 달린 (n)진 트리로 확장한다. 이러한 트리 쌍은 중복 케어트를 삽입·제거함으로써 동등류를 형성하고, 합성은 오른쪽 트리를 왼쪽 트리와 맞추는 과정으로 정의된다.

그 다음, Bieri‑Strebel 군 (G(I,A,P))을 소개하고, 특히 알gebraic Bieri‑Strebel 군 (F_\beta = G(0,1;\mathbb Z