클로와 C3 자유 그래프의 무한 색채수

초록

저자들은 클로프가 없는 루크 그래프를 특수하게 방향화하여 유도된 C₃를 포함하지 않으면서도 색채수가 무한히 커지는 사례를 제시한다. 이는 Aboulker‑Charbit‑Naserasr의 영웅 추측을 반증하고, 기존 결과를 일반화한다.

상세 분석

본 논문은 “클로와 C₃ 자유”라는 두 가지 제한 조건을 동시에 만족하는 방향 그래프가 색채수(다이크로마틱 넘버)를 제한받지 못한다는 사실을 구체적인 구성으로 증명한다. 핵심 아이디어는 N×N 루크 그래프 Rₙ을 이용하는데, Rₙ은 K_{N,N}의 라인 그래프이므로 본질적으로 클로프( K_{1,3})를 포함하지 않는다. 저자들은 각 정점 (a,b)를 좌표쌍으로 보고, 같은 행에 있는 두 정점 (a,b)와 (a,d) 사이의 방향을 b와 d의 이진 표현에서 가장 낮은 차이가 나는 자리 i에 따라 결정한다. 구체적으로 b_i = a_i이면 (a,b)→(a,d)로, 그렇지 않으면 반대 방향으로 놓는다. 열에 대해서도 동일한 규칙을 적용한다. 이 규칙은 행·열 각각에서 발생하는 모든 삼각형이 동일한 방향성을 갖게 하여, 같은 행 혹은 같은 열에 속한 세 정점이 순환을 이루는 경우를 완전히 차단한다. 따라서 Dₙ은 유도된 C₃, 즉 방향 3-사이클을 전혀 포함하지 않는다(명제 1).

다음으로, 저자들은 두 좌표 차이가 동일한 경우, 즉 |a−c| = |b−d|인 네 정점 (a,b), (a,d), (c,d), (c,b)가 방향 4-사이클을 형성함을 보인다(보조정리 1). 이때 가장 낮은 차이가 나는 비트 i를 기준으로 방향을 정하면, (a,b)→(a,d)→(c,d)→(c,b)→(a,b) 순환이 자연스럽게 발생한다. 이는 “다이아드(다이아몬드) 형태”의 사각형이 항상 방향 사이클을 만든다는 중요한 구조적 특성을 제공한다.

색채수 무한성을 보이기 위해서는 임의의 k색칠에 대해 색 하나가 비순환(acyclic) 서브다이그래프를 이루지 못함을 증명해야 한다. 이를 위해 Gallai‑Witt 정리(다차원 van der Waerden 정리)를 인용한다. 이 정리는 충분히 큰 N에 대해