케이리 색상 그래프의 대수 차수와 분할체 연구

초록

본 논문은 유한군 (G) 위의 클래스 함수 (f:G\to\mathbb{Q}) 로 정의되는 케이리 색상 그래프 (\operatorname{Cay}(G,f)) 의 인접 행렬에 대한 분할체와 대수 차수를 완전히 규명한다. 특히 (f) 가 클래스 함수일 때 분할체는 (\mathbb{Q}(\zeta_n)) 의 특정 부분체이며, 차수는 (\varphi(n)) 와 (f) 를 고정시키는 군의 크기의 곱으로 주어진다. 또한 정상 케이리 그래프에 대해 대수 차수와 거리 대수 차수가 일치함을 보이며, 두 그래프의 대수 적분성 관계도 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 그래프의 스펙트럼을 일반 행렬이 아닌 임의의 행렬 (M) 에 대해 정의하고, 이를 케이리 색상 그래프에 적용한다. 케이리 색상 그래프 (\Gamma_f=\operatorname{Cay}(G,f)) 의 인접 행렬은 실대칭이므로 고유값은 실수이며, 고유값은 군의 불변 문자 (\chi_i) 와 함수 (f) 의 합 (\lambda_i=\frac{1}{d_i}\sum_{g\in G}f(g)\chi_i(g)) 로 표현된다. 여기서 (d_i=\chi_i(1)) 이다. 이 식을 이용해 고유값이 (\mathbb{Q}(\zeta_n)) 에 속함을 보이고, 실제 분할체는 (\mathbb{Q}\subseteq \mathrm{SF}(\Gamma_f)\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)) 라는 구간에 있음을 확인한다.

다음으로 갈루아 군 (\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}_n^{\times}) 와 동형인 사상 (\eta) 를 도입한다. (\eta(\sigma)=h) 라면 (\sigma(\zeta_n)=\zeta_n^{h}) 이다. 이때 (\sigma) 가 고유값을 고정하면 (\lambda_i) 가 해당 부분체에 포함된다는 사실을 Lemma 3.2와 Proposition 3.3을 통해 증명한다. 핵심은 (\sigma(\chi(g))=\chi(g^{h})) 라는 성질이며, 이는 표현론에서 (g) 의 차수가 (n) 인 경우에만 성립한다.

그 결과, 고유값이 어떤 부분체 (K) 에 모두 포함되려면 (f) 가 모든 (h\in H_K) 에 대해 (f(g^{h})=f(g)) 를 만족해야 함을 보인다. 여기서 (H_K=\eta(\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/K))) 이다. 반대로 이 조건이 성립하면 모든 고유값이 (K) 에 들어가므로 (K) 가 분할체가 된다. 따라서 분할체는 (H_f:={h\in\mathbb{Z}_n^{\times}\mid f(g^{h})=f(g)\ \forall g}) 로 정의되는 군에 대응하는 고정체로 정확히 기술된다: \