혼합·박스·와서스테인 거리 모호집합을 활용한 연금 자산·부채 관리 비교

초록

본 논문은 캐나다 연금 계획(CPP) 데이터를 기반으로 세 가지 분포적 강건 최적화(DRO) 모호집합—혼합, 박스, 와서스테인—을 적용한 자산·부채 관리(ALM) 모델을 제시하고, 전통적 확률계획(SP)과 성능을 비교한다. 결과는 와서스테인 및 박스 모호집합이 혼합 모호집합과 SP보다 자금조달 비율과 전체 수익률 측면에서 우수함을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 ALM 문제를 확률적 불확실성 하에서 해결하기 위해 DRO 프레임워크를 도입한다. 기존의 확률계획(SP)은 정확한 확률분포를 가정하지만, 데이터 부족이나 모델링 오류로 인해 실제 위험을 과소평가할 위험이 있다. 반면, 강건 최적화(RO)는 최악의 경우에만 대비해 과도하게 보수적인 해를 도출한다. DRO는 두 접근법의 중간점으로, 제한된 정보(예: 시나리오, 구간, 거리)를 활용해 ‘모호집합(ambiguity set)’을 정의하고, 그 안에서 최악의 기대손실을 최소화한다.

세 가지 모호집합은 각각 다음과 같은 특성을 가진다.

1. 혼합 모호집합: 여러 개별 확률분포의 가중합 형태로, 각 시나리오에 대한 확률이 변수이며 전체 확률은 1로 제한된다. 이는 포트폴리오 선택에서 흔히 사용되는 베이지안 혼합 모델과 유사하지만, 최적화 시 확률 변수 자체가 결정 변수이므로 계산 복잡도가 급격히 상승한다.
2. 박스 모호집합: 각 시나리오 확률에 대한 구간(하한·상한)을 부여하고, 전체 합이 1이 되도록 하는 다면체(polyhedral) 집합이다. 이 구조는 선형 혹은 이차계획으로 변환이 용이해, 대규모 시나리오에도 적용 가능하다. 또한, 확률의 불확실성을 직관적으로 표현해 정책 입안자에게 투명성을 제공한다.
3. 와서스테인 모호집합: 확률분포 간의 거리(metric)를 와서스테인(또는 지구거리) 거리로 정의하고, 기준 분포(예: 역사적 시뮬레이션)와의 거리 제한을 설정한다. 이 방식은 분포 형태에 대한 강한 가정을 피하면서도, ‘근접한’ 분포들만 고려하도록 제한한다. 수학적으로는 이중형식(dual) 변환을 통해 선형/이차 제약식으로 변환될 수 있어 계산 효율성을 확보한다.

논문은 위 세 모형을 동일한 ALM 수식에 삽입해 비교한다. 기본 ALM 모델은 기여율 최소화와 자산·부채 흐름 제약, 최소 자금조달 비율(ψ) 등을 포함한다. 시나리오 기반 불확실성 변수는 자산 수익률 ξ와 할인율 γ이며, 각각의 모호집합에 따라 확률분포가 달라진다.

실험에서는 2000~2020년 CPP의 실제 자산 수익률, 급여 성장, 인플레이션 등을 이용해 500개의 시나리오를 생성하고, 각 모호집합에 대해 최적화 문제를 풀었다. 결과는 다음과 같다.

• 와서스테인 모형은 가장 높은 평균 자금조달 비율(>95%)과 연간 수익률(≈6.8%)을 기록했으며, 위험지표(VaR, CVaR)도 가장 낮았다. 이는 거리 제한이 실제 분포와 크게 벗어나지 않는 범위 내에서 최악 상황을 고려하기 때문이다.
• 박스 모형은 와서스테인에 근접한 성과를 보였지만, 확률 구간 설정에 따라 보수성이 약간 증가했다. 특히, 하한을 낮게 잡을 경우 보수적인 투자 비중이 늘어나면서 수익률이 다소 감소했다.
• 혼합 모형은 계산 시간과 메모리 요구량이 급증했으며, 최적해가 불안정해지는 경향이 있었다. 평균 자금조달 비율은 92% 수준으로, 다른 두 모형보다 낮았다. 이는 확률 가중치를 동시에 최적화하는 복합성 때문으로 해석된다.
• 전통적 SP는 가장 높은 기대수익률을 보였지만, 최악의 시나리오에서 자금조달 비율이 80% 이하로 급락하는 등 위험 회피 능력이 현저히 부족했다.

결론적으로, 와서스테인 및 박스 모호집합은 데이터 불확실성을 현실적으로 반영하면서도 계산 효율성을 유지해, 연금 펀드와 같은 장기 투자기관에 적합한 DRO 접근법임을 입증한다. 또한, 혼합 모형은 이론적 흥미는 있으나 실무 적용에는 제한적일 수 있다.