실제 이중제곱 및 단순 cubic 체에서 가산 불가 분해 이차형식의 존재와 개수

초록

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본 논문은 실수 이중제곱체와 Shanks가 정의한 단순 cubic 체에 대해, 2변수(또는 3변수) 고전 이차형식이 가산 불가(additively indecomposable)임을 보이고, 특히 단순 cubic 체에서는 이러한 형식의 동형류 개수를 다항식 형태의 하한으로 제시한다.

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상세 분석

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논문은 먼저 전통적인 정수론에서 ‘가산 불가 정수(indecomposable integer)’라는 개념을 이차형식으로 확장한다. 정의에 따르면, 완전 양의 정수 α∈O_K가 두 개의 완전 양의 정수 β,γ∈O_K⁺의 합으로 표현될 수 없을 때 indecomposable이라 한다. 이를 이용해 ‘가산 불가 이차형식(additively indecomposable quadratic form)’을 정의하는데, 이는 두 개의 완전 양의 반정(semidefinite) 이차형식의 합으로 분해될 수 없는 형태를 말한다.

핵심적인 기술은 Proposition 3.1·3.3에서 제시된, 대각 원소가 indecomposable 정수이고 교차항이 0인 이진 이차형식이 비고전형식이든 고전형식이든 분해될 수 없다는 사실이다. 특히, α와 γ가 indecomposable이고 β=0이면 Q(x,y)=αx²+γy²는 어떠한 비고전형식 Q₁,Q₂의 합으로도 나타낼 수 없으며, 이는 고전형식에서도 동일하게 적용된다.

실제 이중제곱체 K=ℚ(√p,√q)에서는 세 가지 경우(p≡2,3 mod 4 등)로 나누어 정수 기반을 명시하고, 각 경우마다 p‑또는‑q‑에 대한 2변수 형식 Qₚ(x,y)=2x²+2(1+√p)xy+(p²+1+√p)y² 혹은 Qₚ(x,y)=2x²+2√p xy+(p+1)/2 y²가 K의 부분체 ℚ(√p)에서 가산 불가임을 기존 문헌(