부분 순서와 전 순서 사이의 VC 차원 완전 분석

초록

본 논문은 $

상세 분석

논문은 먼저 부분 순서와 전 순서를 각각 $\mathcal F$와 $\mathcal G$라 두고, 두 순서가 “호환(compatible)”하다는 것을 하나의 부분 순서가 두 순서를 모두 정제(refine)할 수 있는 경우로 정의한다. 이 관계는 자연스럽게 $\mathcal F$와 $\mathcal G$ 사이에 이중 집합 시스템을 만든다: 각 부분 순서 $P\in\mathcal F$에 대해 $P$와 호환되는 전 순서들의 집합 $N_{\mathcal G}(P)$를, 각 전 순서 $L\in\mathcal G$에 대해 $L$과 호환되는 부분 순서들의 집합 $N_{\mathcal F}(L)$를 고려한다. 여기서 $\operatorname{VC}_{\mathcal G}(\mathcal F)$는 $\mathcal G$를 바탕으로 본 $\mathcal F$의 VC 차원, 즉 $\mathcal G$ 위에서 $\mathcal F$가 얼마나 많은 부분집합을 ‘찢어낼’ 수 있는지를 의미한다.

주요 정리 1.3은 $\operatorname{VC}_{\mathcal G}(\mathcal F)=\lfloor n^{2}/4\rfloor$임을 보인다. 하한은 $n$이 짝수이든 홀수이든 $\lfloor n^{2}/4\rfloor$개의 전 순서를 적절히 선택해 각각에 대응하는 단일 간선만을 포함하는 부분 순서를 구성함으로써 얻는다. 상한은 임의의 shattered 집합 $S\subseteq\mathcal G$를 가정하고, 각 $A\in S$에 대해 $A$와 충돌하는 최소 간선 $e_A$를 선택한다. 이들 간선으로 만든 유향 그래프 $G$가 사이클을 포함하면 $S$의 어떤 원소와 모순이 발생하므로 $G$는 무사이클이며, 또한 두 정점 사이에 길이 2 이상의 경로가 존재하면 역시 모순이 된다. 따라서 $G$는 삼각형이 없는 그래프가 되며, 그 변의 수는 $\lfloor n^{2}/4\rfloor$를 초과할 수 없으므로 $|S|\le\lfloor n^{2}/4\rfloor$가 된다.

이와 대조적으로 이중 VC 차원 $\operatorname{VC}_{\mathcal F}(\mathcal G)$는 훨씬 더 복잡하다. 전 순서 전체 집합 $\mathcal G$의 크기가 $n!$이므로 일반적인 로그 상한 $ \le n\log_2 n$이 바로 얻어진다. 하한은 두 가지 별도 구성을 통해 얻는다. 첫 번째는 $k=\lfloor n/2\rfloor$개의 정점 집합을 이용해 $3k-3$개의 작은 그래프 ${P_i}$를 만든 뒤, 각 그래프의 한 간선을 선택해 방향을 뒤집고 나머지는 삭제하는 전략을 설계한다. 이 전략은 어떤 부분집합을 선택하더라도 결과 그래프가 무사이클임을 보장하므로, 해당 부분 순서들의 전 순서 호환 집합이 shattered임을 의미한다. 이 경우 얻어지는 shattered 집합의 크기는 $3k-3\approx 3\lfloor n/2\rfloor-3$, 즉 $\Theta(n)$ 수준이다. 두 번째 구성은 $2(n-3)$개의 그래프 ${Q_i}$를 이용해 비슷한 방식으로 shattered 집합을 만든다. 따라서 현재 알려진 하한은 $2(n-3)$이며, 저자들은 실제 asymptotic이 $\Theta(n\log n)$일 것이라고 추측한다.

이 논문은 VC 차원의 전통적인 정의를 순서 이론에 적용함으로써, 부분 순서와 전 순서 사이의 구조적 복잡성을 정량화한다는 점에서 의미가 크다. 특히 $\operatorname{VC}_{\mathcal G}(\mathcal F)$가 정확히 $\lfloor n^{2}/4\rfloor$라는 결과는 기존의 카운팅 기반 상한을 정확히 맞춘 것이며, 이는 부분 순서의 전체 수가 $2^{(1+o(1))n^{2}/4}$라는 알려진 결과와도 일관된다. 반면 이중 VC 차원에 대한 정확한 값은 아직 미해결이며, 이는 순서 확장의 복잡성, 선형 연장의 수, 그리고 그래프 이론적 구조 사이의 미묘한 상호작용을 반영한다.