거울 P²의 로그 GW 불변량이 보여주는 모크 모듈러성

초록

본 논문은 타원곡선 섬유를 갖는 로그 칼라비–야우 쌍 ((Y,D)) 에서 정의되는 로그 Gromov–Witten 불변량의 생성 함수가 모크 모듈러 형식으로 나타난다는 예측을 제시하고, 특히 (\mathbb{P}^2)의 거울인 유리 타원곡면 (Y)와 9개의 (\mathbb{P}^1)이 연결된 섬유 (D)에 대해 이를 증명한다. 핵심은 이전 작업에서 구축한 로그 GW와 Vafa‑Witten 불변량 사이의 대응 관계와, Vafa‑Witten 측에서 알려진 모크 모듈러성 결과를 이용하는 것이다.

상세 분석

논문은 먼저 로그 Gromov–Witten 이론을 간략히 정리하고, 특히 타원곡선 섬유 위의 로그 칼라비–야우 쌍 ((Y,D)) 에서 정의되는 A₁‑곡선(음의 접촉 차수를 허용하는 펑크처드 맵)의 카운팅을 (GW(Y,D){v,\beta}) 로 표기한다. 여기서 (v\in \mathrm{Trop}\mathbb{Z}(Y,D))는 접촉 차수를, (\beta\in H_2(Y,\mathbb{Z}))는 곡선 클래스를 의미한다.

주된 가설은 타원곡선 섬유 (\phi:Y\to B) 와 그 위의 특이 섬유 (D) (또는 노달 타원곡선) 가 주어지면, 고정된 접촉 차수 (v) 와 기본 곡선 클래스 (\beta_0) 에 대해
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