Hadamard 공간에서 확률적 최소화를 위한 Busemann 서브그라디언트 방법

초록

본 논문은 Busemann 서브그라디언트를 이용한 확률적 최적화 알고리즘을 일반 Hadamard 공간으로 확장한다. 로컬 콤팩트성 하에서는 강수렴을, 조건 (Q₄)를 만족하는 Hadamard 공간에서는 약한 에르고딕 수렴을 증명한다. 또한 강볼록성 가정 하에서 명시적인 수렴 속도도 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 Goodwin·Lewis·Nicolae·López‑Acedo가 제안한 Busemann 서브그라디언트 방법을 Hadamard 공간, 즉 완비 비양의 곡률을 갖는 CAT(0) 공간 전반에 적용할 수 있도록 일반화한다. 기존의 서브그라디언트는 선형 구조와 쌍대 공간을 필요로 하지만, Busemann 함수와 경계 원뿔 C_X^∞를 이용하면 비선형 공간에서도 “방향”과 “스칼라 속도”를 정의할 수 있다. 저자는 f(e,·)가 모든 e에 대해 Busemann 미분가능하고, 서브그라디언트의 스칼라 성분 s가 전역 상수 L 이하라는 (A2) 조건을 두어, 확률적 샘플 ζ_{n+1}에 대해 Busemann 서브그라디언트