분수 평균 곡률 흐름의 고전 해 존재성 및 모세관형 경계조건

초록

본 논문은 $C^{1,1}$ 정규성을 가진 반구형 초평면에 존재하는 캡illary 경계조건을 갖는 분수 평균 곡률 흐름의 단시간 고전 해 존재성을 고정점 방법과 Schauder 추정법을 이용해 증명한다. 초기 초곡면이 별형이고 접촉각 $\theta\in(0,\pi)$ 를 만족하면 흐름은 즉시 매끄럽게 되며, $C^\infty$‑정규성을 가진다.

상세 분석

이 연구는 기존의 고전 평균 곡률 흐름에서 비국소(분수) 버전을 다루면서, 특히 반구 $S^n_+$ 위에 정의된 캡illary 경계조건을 포함한다는 점에서 새롭다. 분수 평균 곡률 $H_s$ 은 비국소 적분 형태(1.1)로 정의되며, 이는 $s\in(0,1)$ 에 대해 $(-\Delta)^{\frac{1+s}{2}}$ 와 연관된 비국소 연산자를 내포한다. 논문은 초기 초곡면이 $C^{1,1}$-정규인 경우 $H_s$ 가 유계임을 강조하고, 이 정규성이 없으면 $H_s$ 가 정의되지 않을 수 있음을 주의한다.

주요 기법은 흐름을 구면 좌표계에서 반구 위의 방사 함수 $\rho(x,t)$ 로 파라미터화하는 것이다. 이를 통해 (1.2)의 기하학적 시스템을 비국소 파라볼릭 방정식
\