이중주기 파도반·페린 사원수와 유한체에서의 영인자와 가역원 연구

초록

본 논문은 소수 p에 대해 a = p − 2, b = p인 쌍둥이 소수 계수를 이용한 이중주기 파도반·페린 수열을 정의하고, 이를 사원수 형태로 확장한다. Qₚ(−1,−1) 알제브라에서 이 사원수들의 노름을 분석하여 영인자와 가역원의 존재 조건을 명시적인 합동식으로 제시한다. 특히 p≡1(mod 4)와 p≡1(mod 3) 경우에 대한 완전한 판정식을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 3차 정수수열인 파도반(Padovan)과 페린(Perrin) 수열을 복습하고, Diskaya‑Menkens가 제시한 이중주기 파도반 수열 Pₙ(a,b)를 도입한다. 이 수열은 n이 짝수일 때 a·Pₙ₋₂+Pₙ₋₃, 홀수일 때 b·Pₙ₋₂+Pₙ₋₃ 로 정의되며, a와 b를 교대로 적용한다는 점에서 전통적인 3차 선형 재귀와 차별된다. 저자는 a = p − 2, b = p (p는 홀수 소수)라는 특수한 쌍둥이 소수 선택을 통해 모듈러 환경에서의 간단한 동치식 P₂k₊₁≡P₂k₋₂(mod p)와 P₂k≡P₂k₊₃(mod p)를 얻는다. 이를 바탕으로 Lemma 1에서는 P₂k를 이항계수와 부호의 조합으로 전개하고, Proposition 1에서는 Pₘ을 피보나치 수 Fₖ와 연결시켜 P₂k≡(−1)ᵏ(Fₖ₊₃−1) (mod p), P₂k₊₁≡(−1)ᵏ⁻¹(Fₖ₊₂−1) (mod p) 라는 식을 도출한다.

사원수 QPₙ = Pₙ + Pₙ₊₁ i + Pₙ₊₂ j + Pₙ₊₃ k 의 노름 N(QPₙ)=Pₙ²+Pₙ₊₁²+Pₙ₊₂²+Pₙ₊₃² 를 이용해 영인자 판정을 수행한다. Theorem 1에서는 짝수 인덱스 m=2k에 대해 N(QPₘ)≡0(mod p) ⇔ p≡1(mod 4) 그리고 k²≡s−2(mod π(p)) (s∈{z(p)−1,2z(p)−1,3z(p)−1,4z(p)−1}) 라는 조건을 얻는다. 여기서 z(p)는 피보나치 수열에서 p가 처음 나누어지는 최소 지수, π(p)는 피사노 주기이다. 증명 과정에서 (Fₖ₊₃−1)²+(Fₖ₊₂−1)²≡0(mod p) 를 (−1/p)=1 로 변환하고, Legendre 기호와 2차 합동식 x²≡−1(mod p)의 해 존재 여부를 연결한다.

Theorem 2는 홀수 인덱스 m=2k+1에 대해 N(QPₘ)≡0(mod p) ⇔ p≡1(mod 3) 와 k²≡s−2(mod π(p)) 를 도출한다. 여기서는 x²≡−3(mod p) 의 해 존재와 (3/p)=1 을 이용해 p≡1(mod 3) 임을 보인다.

다음 섹션에서는 이와 유사한 구조를 갖는 이중주기 페린 수열 Rₙ(a,b)를 정의하고, Rₙ과 Pₙ 사이의 관계 Rₙ=3Pₙ₋₃+2Pₙ₋₂ (짝·홀에 따라 a,b 교체) 를 증명한다. 이에 기반한 페린 사원수 QRₙ의 노름 역시 Pₙ의 조합으로 표현되며, 동일한 쌍둥이 소수 매개변수 하에서 영인자와 가역원 판정이 가능함을 제시한다. 마지막으로 p=7,13,181에 대한 구체적인 계산을 통해 일부 경우 모든 페린 사원수가 가역임을, 다른 경우에는 영인자가 존재함을 실험적으로 확인한다. 전체적으로 논문은 수열 이론, 유한체 위 사원수 대수, 그리고 2차 합동식의 상호작용을 통해 새로운 영인자 판정법을 제공한다는 점에서 의미가 크다.