유한표현군의 공액자 길이 함수와 그 스펙트럼

초록

본 논문은 유한표현군에서 공액자 길이 함수가 가질 수 있는 모든 형태를 조사한다. S‑머신을 이용해 시간 함수가 충분히 큰 임의의 함수가 공액자 길이 함수로 실현될 수 있음을 보이고, 특히 이중지수시간 내에 계산 가능한 실수 α≥2에 대해 n^α 형태의 공액자 길이 함수를 갖는 군을 구성한다. 또한 Dehn 함수와 annular Dehn 함수와의 관계를 분석한다.

상세 분석

논문은 먼저 공액자 길이 함수 CL_G 를 정의하고, 이는 단어 길이 n 이하인 두 원소를 서로 공액시키는 최소 길이의 상한으로서 군의 공액 문제 복잡도를 측정한다는 점을 강조한다. 기존 연구에서 Bridson‑Riley가 n^m 형태의 함수와 유리 지수의 밀집 집합을 실현함을 보였지만, 이 논문은 그 범위를 크게 확장한다. 핵심 도구는 Sapir가 도입한 S‑머신이다. 저자는 임의의 인식 S‑머신 S 를 선택하고, 이를 ‘강화된 순환 S‑머신’ E_S 로 변형한다. 변형 과정에서 원래의 언어와 시간 복잡도는 보존되면서, 원소들의 순환 기반을 갖는 단어들 사이의 변환 길이가 a‑길이(테이프 문자 수)의 다항식으로 제한된다. 이 특성을 이용해 S‑머신의 시간 함수 TM_S (n) 과 군 G_S 의 공액자 길이 함수 사이에
TM_S (n) ≲ CL_{G_S}(n) ≲ n^2 + TM_S (n)
이라는 양쪽 경계를 얻는다. 여기서 ‘≲’는 논문에서 정의한 전형적인 선형·다항식 위상 동등성을 의미한다.

이 정리를 통해 다음과 같은 중요한 귀결을 얻는다. 첫째, 임의의 유한표현군 G 의 Dehn 함수 Dehn_G 를 갖는 군 H 가 존재하여 CL_H 와 Dehn_G 가 동등함을 보인다. 즉, Dehn 함수 스펙트럼이 공액자 길이 함수 스펙트럼에 완전히 포함된다. 둘째, 이중지수시간 내에 계산 가능한 실수 α≥2에 대해 n^α 형태의 공액자 길이 함수를 갖는 군을 명시적으로 구성한다. 이는 α가 대수적이든 원주율 π, 자연상수 e 등이든 관계없이 적용 가능하다.

또한 저자는 TM_S (n) 이 n^2 보다 크게 성장하는 경우, 해당 S‑머신에 대응하는 군 H_S 가 Dehn_H_S (n) ∼ n^3 이면서 CL_{H_S}(n) ∼ TM_S (n) 임을 보인다. 이는 Dehn 함수와 공액자 길이 함수 사이에 계산 가능성의 격차가 존재함을 시사한다. 마지막으로 annular Dehn 함수 Ann_G 를 연구하여, TM_S (n) 의 세제곱과 일치하는 상한을 얻음으로써, TM_S (n) 이 다항식이면 Ann_{G_S} 와 TM_S 사이에 강한 동등성이 성립함을 증명한다.

전체적으로 논문은 S‑머신을 통한 군 구성 기법을 정교하게 다듬어, 기존에 알려진 Dehn 함수와 공액자 길이 함수 사이의 관계를 크게 확장하고, 복잡도 이론과 기하군론 사이의 교차점을 새로운 수준으로 끌어올렸다.