주기성으로는 회전벡터 보장을 할 수 없다: T³에서의 반례

초록

**
저자는 매끄러운 주기적 벡터장으로 정의된 3차원 토러스 ( \mathbb{T}^3 ) 위의 흐름이 약한 의미의 회전벡터는 존재하지만, Liouville 수를 이용한 고조파 구조 때문에 강한 의미(유계 편차)의 회전벡터는 존재하지 않음을 보인다.

**

상세 분석

**
이 논문은 “회전벡터(rotation vector)”라는 개념을 두 가지 수준으로 구분한다. 약한 의미는 시간 평균 ( \displaystyle \rho=\lim_{t\to\infty}\frac{X(t)-X(0)}{t} ) 가 존재하는 것이고, 강한 의미는 같은 극한값 ( \rho ) 가 존재하면서 궤적이 ( \rho t ) 와의 거리가 전 시간에 걸쳐 유한하게 유지되는 것을 뜻한다(유계 편차, bounded deviation). 기존 문헌에서는 삼각 다항식 형태의 벡터장에 대해 강한 회전벡터가 항상 존재한다는 결과가 알려져 있다