양극에서의 편향을 가진 랜덤 워크

초록

본 논문은 평균이 한 축과 일치하는 2차원 랜덤 워크를 양의 사분면에 머무르게 조건화하고, 탈출 시간의 꼬리 분포와 양의 조화함수, 적분·국소 극한정리를 구축한다. 또한, 특정 격자 보행을 이용해 (k,1) 직선에 도달하는 경로 수의 asymptotic을 구한다.

상세 분석

이 연구는 두 차원 랜덤 워크 {S(n)}가 유한한 2차 모멘트를 가지며 평균 벡터 μ=(μ₁,0) (μ₁>0)인 경우를 다룬다. 즉, 드리프트가 x축과 평행하고 양의 사분면 K=ℝ₊²의 경계에 놓여 있다. 저자들은 먼저 1차원 마진 S₂(n) 에 대한 하강 사다리 높이 χ⁻와 그 재생 함수 V(u)를 정의하고, 이를 이용해 전체 워크가 K를 떠나는 첫 순간 Tₓ의 꼬리 확률을 P(Tₓ>n)∼κ W(x) n^{-1/2} 로 정확히 추정한다. 여기서 κ=r 2π E