시간분수 슈뢰딩거 방정식 평균 제어 가능성 연구

초록

본 논문은 확률적 양자 확산계수 ξ를 갖는 시간분수 슈뢰딩거 방정식의 평균 제어 가능성을 조사한다. 절대연속형 ξ에 대해서는 동시 영제어와 정확 평균 제어가 불가능함을 증명하고, 새로운 두 매개변수 분수 특성함수를 도입해 특정 확률분포(예: 라데머 분포)에서는 모든 센서 집합에 대해 영 평균 제어가 가능함을 보인다. 또한, 이를 이용해 분수 바이해모닉 확산 방정식의 영 제어 가능성을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 시간분수 슈뢰딩거 방정식 ∂α0,t y−ξ iΔy =1G0u 를 설정하고, ξ가 확률변수임을 가정한다. 핵심 도구는 복소 인수 iξλn을 갖는 Mittag‑Leffler 함수 Eα,β(z)의 해석성이다. 저자들은 Müntz 정리를 활용해, ξ의 실현값이 연속적인 경우 y(T;ξ; y0; u)=0이 되는 ξ값들의 집합이 가산임을 보인다. 따라서 절대연속 확률분포를 갖는 ξ에 대해 “동시 영제어” 사건은 확률 0이 된다. 이는 기존의 유사 결과와 일치하지만, 시간분수 차수 α∈(0,1)에서 복소 지수함수 대신 Mittag‑Leffler 함수가 등장함으로써 새로운 기술적 난관을 제시한다.

다음으로 평균 제어를 다루는데, 무제어 경우(u=0)와 ξ가 라데머 분포를 따를 때 평균 상태는 E