시간변형 재난 포함 출생 사망 과정의 분수 미분 방정식과 시뮬레이션

초록

본 논문은 안정적·템퍼드 서브오디네이터의 첫 도달 시간을 시간변형 인자로 사용한 두 종류의 재난 발생 출생‑사망 과정을 정의하고, 그 상태 확률에 대한 분수 미분 방정식, 라플라스 변환식, 재난 발생·체류 시간의 Mittag‑Leffler 분포, 그리고 0 상태 도달 시간의 분포적 특성을 분석한다. 또한 선형 출생‑사망 모델에 대해 기대값·분산을 구하고, 파라미터별 기대값 변화를 그래프로 제시하며, 시뮬레이션 알고리즘과 샘플 경로를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 재난 포함 출생‑사망 과정(BDPC)을 정의하고, 이를 두 종류의 시간변형—역 안정 서브오디네이터(Yα(t))와 역 템퍼드 안정 서브오디네이터(Yθ,α(t))—에 적용한다. 시간변형된 과정 Nα,ν(t)=Nν(Yα(t))는 원래 마코프 과정 Nν(t)의 경로를 비선형적인 ‘시간 흐름’에 재배치함으로써 반마코프(semi‑Markov) 특성을 갖는다. 핵심 결과는 Caputo 분수 미분 연산자 dα/dtα를 사용한 상태 확률 pα,ν,m,n(t)의 시스템(3.4)이며, 이는 기존의 정수 차 미분 방정식(1.1)을 α∈(0,1] 로 일반화한다. 라플라스 변환을 이용해 pα,ν,m,n(z)=z^{α−1}pν,m,n(z^α) 를 얻고, 이를 다시 ν와 결합해 (3.5) 형태의 관계식을 도출한다. 이는 시간변형 BDPC의 확률을 시간변형 BDP와 직접 연결시켜, 기존 연구(예: Kataria & Vishwakarma, 2025)와 일관성을 보인다.

재난 발생 간격은 원래 BDPC에서 포아송(지수) 분포였으나, 시간변형 후에는 Mittag‑Leffler Eα(−νt^α) 로 변한다. 이는 재난이 ‘느리게’ 발생함을 의미하며, α가 작을수록 꼬리 무거운 분포가 된다. 동일한 논리로 비정상 상태(n>0)의 체류 시간도 Eα(−(λ_n+μ_n+ν)t^α) 로 표현된다.

특히 0 상태가 흡수인 경우, 첫 방문 시간 Tα,ν,m,0는 두 독립 변수의 최소값 min{Tα,0,m,0, Zα,ν}와 동등한 분포를 갖는다. 여기서 Zα,ν는 파라미터(α,ν)인 Mittag‑Leffler 변수이며, 이는 시간변형과 재난 효과가 동시에 작용함을 직관적으로 보여준다.

선형 케이스(λ_n=nλ, μ_n=nμ)에서는 상태 확률을 명시적 형태로 풀어내고, 기대값 E