첫 번째 가산 T₁ 공간의 하우스도르프성 및 고정점 정리

초록

본 논문은 첫 번째 가산 T₁ 공간에서 집합값 함수의 수축 궤적을 두 가지 방식(위상적 수축과 일반화 거리 함수 기반 수축)으로 정의하고, 이러한 궤적이 강한 누적점을 가질 때 그 점이 고정점이 됨을 보인다. 이를 통해 하우스도르프성은 이러한 고정점 정리와 동치임을 증명하고, 강 최소 존재와 칸토어 교차정리 일반화 등 여러 응용을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 첫 번째 가산 위상공간 ((X,\tau))에서 집합값 함수 (S:X\Rightarrow X)의 무한 궤적을 정의하고, 두 가지 수축 개념을 도입한다.

1. (\tau)-수축 궤적: 임의의 열린 피복 (\gamma)에 대해 어떤 (U\in\gamma)와 지수 (i_0)가 존재해 (x_{i_0}\in U)이며 (S(x_{i_0})\subseteq U)가 되는 성질. 이는 기존 문헌