부분 Walsh 시리즈를 이용한 서브스페이스 선택 변분 양자 구성 상호작용

초록

본 논문은 선택된 슬라터 행렬식들의 서브스페이스를 초기에 균등하게 중첩한 뒤, 대각 Walsh 연산자를 이용해 CI 계수들을 인코딩하는 새로운 VQE Ansatz를 제안한다. 이 방법은 전체 CI(FCI)와 선택 CI(SCI) 모두에 적용 가능하며, 고전적인 행렬 대각화를 회피하면서도 50 % 성공 확률을 보장한다. 실험적으로 H₂, H₆, H₂O 등 여러 분자에 대해 양자 시뮬레이터와 IBM Torino 하드웨어에서 정확한 에너지 곡선을 재현하였다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 변분 양자 고유값 문제(VQE)와 양자 선택 구성 상호작용(QSCI)의 장점을 결합한 새로운 회로 설계 방식을 제시한다. 핵심 아이디어는 두 단계로 나뉜다. 첫 번째는 물리적으로 의미 있는 슬라터 행렬식(또는 그 부분집합)만을 포함하는 서브스페이스를 준비하는 것으로, Dicke 상태 생성 회로(O(r N) CNOT) 혹은 양자 워크 기반 회로(O(r D) CNOT)를 사용한다. 여기서 r은 전체 궤도 수, N은 전자 수, D는 선택된 행렬식 수이다. 두 번째 단계는 대각 Walsh 연산자를 이용해 각 행렬식에 대응하는 CI 계수 c_k를 인코딩한다. 대각 연산자는 일반적으로 비유니터리이므로, 하나의 ancilla 큐비트를 도입해 확장된 유니터리 U=Y ∏{j odd} e^{i a_j ŵ_j} 로 구현한다. 이때 a_j는 Walsh 계수이며, a_j=2^{-r}∑{k=1}^{D}c_k(−1)^{⟨k·j⟩} 로 정의된다. 즉, Walsh 변환을 통해 CI 계수를 직접 회로 파라미터로 변환한다는 점이 혁신적이다.

파라미터 수는 기본적으로 D·log D 로 제한되며, 이는 전통적인 VQE가 필요로 하는 O(2^r) 파라미터에 비해 크게 감소한다. 또한, Walsh 연산은 CNOT과 R_z 게이트만으로 구현 가능하고, 그 복잡도는 O(D) 로 선형 스케일이다. 중요한 점은 ancilla 측정이 0 또는 1일 때 각각 +Σ와 −Σ 상태가 생성되며, 두 경우가 정확히 50 % 확률로 발생한다는 것이다. 따라서 성공 확률이 고정되어 있어 반복 실행 시 통계적 오류를 쉽게 제어할 수 있다.

실험에서는 H₂(최소 STO‑6G), H₆(선형 사슬), H₂O(6‑31G) 등을 대상으로 에너지 곡선을 측정하였다. H₂와 H₆에 대해서는 양자 워크를 이용해 스핀·입자수 보존 Dicke 서브스페이스를 준비했으며, 결과는 고전적인 FCI와 거의 일치해 화학적 정확도(1.6 mHa) 내에 머물렀다. H₂O에서는 D·log D 개의 Walsh 함수들을 무작위로 오버샘플링하고 QR 분해를 통해 전치 행렬을 얻어, 전체 회로 파라미터 44개(16개의 행렬식)로 FCI 수준의 에너지를 재현했다. 또한, 오버샘플링 비율을 변화시켜 전치 행렬의 풀랭크 성공 확률을 조사했으며, D·log D 의 약 50 % 정도만 사용해도 90 % 이상 풀랭크를 달성함을 확인했다.

자원 분석 측면에서, 서브스페이스 준비 단계는 O(r N) 혹은 O(r D) CNOT을 요구하고, Walsh Ansatz 단계는 O(D) CNOT과 D개의 R_z 파라미터만 필요하다. 이는 최근 ADAPT‑VQE와 비슷하거나 약간 낮은 수준이며, 과도한 파라미터화와 barren plateau 문제를 회피한다는 장점이 있다. 또한, 선택된 CI 공간을 클래식히 전처리해 SCI 절차와 결합함으로써, 전자 상관이 강한 시스템에서도 효율적인 서브스페이스를 자동으로 생성할 수 있다.

전체적으로 이 논문은 (1) 서브스페이스 선택을 양자 회로 수준에서 수행, (2) Walsh 기반 대각 연산으로 CI 계수를 직접 인코딩, (3) ancilla 기반 확률적 성공률을 활용한 VQE 최적화라는 세 가지 혁신을 결합한다. 이는 고전적인 행렬 대각화 비용을 제거하고, NISQ 디바이스에서도 실용적인 정확도를 달성할 수 있는 새로운 경로를 제시한다.