하이퍼볼릭 사면체에서 유도된 강규칙 그래프와 그 최대 클리크 구조

초록

본 논문은 차원 2n+1의 하이퍼볼릭 사면체 Q⁺(2n+1,q)와 한 생성기 Π를 고정하여, Π를 제외한 점들을 정점으로 하는 그래프 Gₙ을 정의한다. 두 정점이 서로 연결되는 조건은 그들을 잇는 직선이 사면체에 대한 시컨트이거나, 사면체에 포함되면서 Π와 교차하는 경우이다. Gₙ은 강규칙 그래프(SRG)이며, q=2일 때는 기존의 접선 그래프 NO⁺(2n+2,2)와 스펙트럼이 동일하지만 n≥3에서는 동형이 아니다. 특히 n=3, q=2인 경우 최대 클리크를 완전히 분류하고, 이를 통해 두 그래프의 비동형성을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 유한 투영공간 PG(2n+1,q)에서 비퇴화 하이퍼볼릭 사면체 Q⁺(2n+1,q)의 기본적인 기하학적 성질을 정리한다. 생성기 Π는 차원 n의 최대 전등사영 부분공간이며, 모든 점은 Π와의 관계에 따라 두 종류의 인접 관계(∼₁,∼₂)로 구분된다. ∼₁은 두 점을 잇는 직선이 사면체와 두 교점을 갖는 경우(시컨트), ∼₂는 직선이 사면체에 포함되고 동시에 Π와 교차하는 경우이다. 이 두 관계의 합으로 정의된 그래프 Gₙ은 정점 수
v = qⁿ(qⁿ+1−1)/(q−1)
를 가지며, 차수 k = q^{2n−1} 로 계산된다. λ와 µ는 각각
λ = q^{2n−1}(q−1)−2, µ = (q^{2n−1}−q^{n−1})(q−1)
으로 도출된다. 증명 과정에서는 점 P의 극공간 P^⊥와 사면체의 교차 구조, 그리고 Π와의 교차 차원을 이용해 각 경우별로 인접점의 수를 정밀히 셈한다. 특히, 두 점이 시컨트인 경우와 Π와 교차하는 경우를 구분하여 λ를 두 번 계산하고 일치함을 확인한다. µ는 두 점이 전혀 Π와 교차하지 않는 전등사영 직선을 이루는 경우에 대한 복잡한 경우 분석을 통해 얻어진다.

q=2일 때는 기존에 알려진 접선 그래프 NO⁺(2n+2,2)와 파라미터가 동일하므로 스펙트럼도 일치한다. 그러나 n≥3에서는 그래프 구조가 다름을 보이기 위해 n=3, q=2인 경우의 최대 클리크를 완전히 분류한다. 여기서 오보이드(Ovoid) O⊂Q⁺(7,2) 가 크기 9인 최대 클리크를 제공하고, 이 외에도 Π와 교차하는 다양한 전등사영 평면·고체에 의해 생성되는 클리크 유형을 정의한다. 모든 최대 클리크는 다음 네 종류 중 하나에 동형이다: (1) 오보이드, (2) Π와 교차하는 전등사영 2‑공간에 포함된 점들의 집합, (3) Π와 교차하는 전등사영 3‑공간에 포함된 점들의 집합, (4) Π와 전혀 교차하지 않지만 특정 고체에 포함된 점들의 집합. 각 유형은 크기와 구조가 서로 다르므로, NO⁺(8,2)와는 클리크 분포가 달라 비동형임을 결론짓는다.

이러한 결과는 강규칙 그래프의 스펙트럼 동등성만으로는 동형성을 판별할 수 없으며, 기하학적 구조(특히 최대 클리크의 분류)가 중요한 구별 도구가 됨을 보여준다. 또한, 하이퍼볼릭 사면체와 그 생성기의 조합을 이용한 그래프 구성 방법이 q>2에서도 일반화될 수 있음을 시사한다.