GW 거리 계산의 비선형 복잡성 분석

초록

본 논문은 유한한 메트릭‑측도 공간 사이의 Gromov‑Wasserstein(GW) 거리 최적화가 언제나 비볼록 이차 프로그램임을 증명한다. 목표 함수 행렬이 항상 음의 고유값을 가지므로 양의 반정밀성을 만족하지 못하고, 이는 일반적인 NP‑hard 비볼록 이차 문제와 동등함을 보여준다. 또한 간단한 예시와 실제 데이터 실험을 통해 음의 고유값 존재를 확인한다.

상세 분석

논문은 먼저 GW 거리의 정의를 유한 공간에 대해 명시적으로 수식화한다. 두 공간 X와 Y의 거리 행렬 d와 h, 그리고 확률 측도 μ_X, μ_Y가 주어지면, 최적화 변수 μ는 X×Y 위의 결합 확률분포이며, 제약조건 Aμ = b(마진 제약)와 μ ≥ 0을 만족한다. 목표 함수는 4차원 텐서 Γ_p의 원소 |d_{ik}−h_{jl}|^p 를 이용해 μᵀΓ_p μ 형태의 이차식으로 표현된다. 핵심은 Γ_p가 항상 대칭이지만 양의 반정밀(positive semidefinite)하지 않다는 점이다. 저자는 Γ_p의 좌상단 2×2 부분행렬을 분석하여 det(Γ