회전 드럼 내 과립 흐름 속도 프로파일의 스케일링 법칙

초록

본 연구는 2차원 회전 드럼에서의 과립 흐름을 이산 입자법(DEM)과 μ(I) 레오로지 기반 연속체 모델로 동시에 조사한다. 두 방법이 제시하는 속도장과 표면 흐름층 두께가 정량적으로 일치함을 확인하고, 차원 분석을 통해 무차원 파라미터 Fr(프루드 수)와 d/D(입자/드럼 직경 비)만이 속도 프로파일을 지배한다는 스케일링 법칙을 도출한다. 도출된 식은 낮은 프루드 수와 큰 시스템 크기 영역에서 유효하며, 수치 시뮬레이션으로 검증된다.

상세 분석

이 논문은 회전 드럼 내부의 과립 흐름을 두 가지 접근법으로 분석한다. 첫 번째는 입자 간 접촉을 직접 해석하는 이산 요소법(DEM)으로, 입자 직경 d, 밀도 ρ_s, 탄성계수 k_n, 마찰계수 μ_p 등 미시적 파라미터를 명시하고, 시간 스텝 Δt을 충분히 작게 잡아 안정적인 수치를 확보한다. 드럼 직경 D를 150 d, 300 d, 450 d로 변환하고, 각 D에 대해 회전 속도 Ω를 1.26×10⁻³ ~ 1.26×10⁻² (p_g/d) 범위에서 변화시켜 프루드 수 Fr=Ω²D/(2g) 가 10⁻⁴ ~ 10⁻² 사이에 머물도록 설계하였다. 이러한 설정은 실험적 ‘롤링 상태’와 일치한다.

두 번째 접근법은 연속체 모델이다. 입자를 비압축성, 비뉴턴 유체로 가정하고, 질량 보존식 ∇·v=0와 운동량 보존식에 μ(I) 레오로지를 적용한다. μ(I)=μ_s+(μ_2−μ_s)·I/(I_0+I) 형태로, 관성수 I=γ̇ d/√(p/ρ_s) 를 이용해 전단률과 압력에 의존하는 전단 점성을 정의한다. 여기서 μ_s, μ_2, I_0는 DEM 기반 균일 전단 실험을 통해 추정하였다(μ_s=0.246, μ_2=0.401, I_0=0.133). 경계 조건은 드럼 벽에서의 회전 속도와 자유 표면에서의 응력 무조건성을 적용한다.

연속체 방정식을 차원화할 때 길이 스케일을 D, 속도 스케일을 ΩD, 압력 스케일을 ρ_gΩ²D² 로 잡아 무차원 변수 ˜v, ˜p, ˜γ̇ 등을 정의한다. 차원화된 방정식(13)–(15)에서 나타나는 무차원 파라미터는 프루드 수 Fr와 입자/드럼 비 d/D 뿐이다. d/D→0 한계에서 μ(I) 레오로지의 압력 의존성이 사라지며, 속도 프로파일은 오직 Fr에만 의존한다는 중요한 스케일링 결과를 얻는다.

수치적으로는 CFD(Finite Difference)로 연속체 방정식을 풀어 얻은 속도장과 DEM에서 직접 측정한 속도장을 비교하였다. x축을 자유 표면에 평행하게 정의하고, z축을 표면에서의 깊이로 변환한 뒤, 중심선(x=0)에서 u(z) 프로파일을 추출하였다. 두 방법 모두 표면 흐름층(h)에서 u가 급격히 감소하고, 깊은 영역에서는 -Ωz(강체 회전)와 일치한다. h는 D에 비례적으로 증가하고 Ω에 대해서는 약한 의존성을 보였으며, 이는 기존 실험 보고와 일치한다.

스케일링 법칙은 h/D ≈ C·Fr^α (C, α는 실험적으로 결정) 형태로 제시되었으며, 시뮬레이션 결과는 이 식을 잘 따랐다. 특히, Fr이 작을수록 h/D 비율이 작아져 얇은 표면 흐름층이 형성되고, D가 커질수록 동일 Fr에서 h가 비례적으로 증가한다. 이러한 결과는 μ(I) 레오로지를 이용한 연속체 모델이 과립 흐름의 거시적 특성을 정확히 포착함을 증명한다.

본 연구는 (1) DEM과 연속체 모델 간의 정량적 일치를 입증하고, (2) 차원 분석을 통해 핵심 무차원 파라미터를 도출함으로써, 회전 드럼 설계 및 스케일업에 필요한 이론적 기반을 제공한다. 또한, 낮은 Fr·대·d/D → 0 영역에서의 일반화된 스케일링 법칙은 다양한 산업 공정(혼합, 건조, 분쇄 등)에서 적용 가능성을 시사한다.