동적 구간 스케줄링: 무작위 시작·종료 시각과 두 가지 충돌 모델

초록

작업의 시작·종료 시각이 확률분포에 따라 무작위로 결정되는 상황에서, 순차적으로 작업을 선택해 충돌 없는 스케줄을 구성하고 기대 가중치를 최대화하는 문제를 제시한다. 저자는 충돌을 “확률적 삭제”하는 DSRSE 모델과 “가능성 전부 삭제”하는 CDSRSE 모델을 정의하고, 각각에 대한 LP 완화와 이중형을 구축해 이론적 경계와 근사 해법을 제시한다. 실험을 통해 제안된 완화가 실제 기대 최적값에 근접함을 확인한다.

상세 분석

본 논문은 전통적인 구간 스케줄링 문제에 확률적 시작·종료 시각을 도입함으로써 동적 의사결정 상황을 모델링한다. 두 가지 모델, DSRSE와 CDSRSE는 충돌 처리 방식에서 차이를 보인다. DSRSE에서는 새로운 작업이 현재 선택된 작업과 실제 겹칠 확률 p₍ᵢⱼ₎을 계산하고, 베르누이 시도 B₍ᵢⱼ₎를 통해 충돌 여부를 무작위로 결정한다. 반면 CDSRSE는 지원 집합 Sⱼ∪Eⱼ와 이미 차지된 슬롯이 겹치면 즉시 작업 j를 삭제한다는 보수적 규칙을 적용한다. 이러한 차이는 상태 전이와 기대 가치 함수에 직접적인 영향을 미치며, 특히 CDSRSE에서는 각 작업의 시작·종료 분포가 단계에 따라 업데이트되지 않기 때문에 LP 제약식이 단순화된다.

저자는 각각의 모델에 대해 확률적 시작·종료 매트릭스 Pˢ, Pᵉ, Pᵒ를 정의하고, 단계별 스케줄링 확률 변수 xᵗ_{s,ik}, xᵗ_{e,ik}, xᵗ_{o,ik}를 도입해 목표 함수를 Σₜ Σᵢ wᵢ xᵗᵢ 로 표현한다. 핵심 제약은 “각 슬롯이 동시에 하나 이상의 작업에 의해 점유될 확률은 1 이하”라는 점근적 독립성 조건이며, 이를 수식 (1)·(2) 형태로 전개한다. 결과적으로 DSRSE에 대한 원시-이중 LP 쌍 (DLP‑P)·(DLP‑D)와 CDSRSE에 대한 (CDLP‑P)·(CDLP‑D)가 도출된다.

이중형을 이용해 두 모델 모두 “비관적(interval) 그래프 Gₚₑₛ”에 대한 최소 클리크 커버 해를 하한으로 활용한다. 특히 DSRSE에서는 µₚₑₛ에 추가적인 보정항 Σᵢ(1‑Pᵒ_{ik})가 붙어 α* ≤ αₚₑₛ·(1+…) 형태의 상한을 얻는다. CDSRSE에서는 최소 비확률 p* = min_{i,r} Pᵒ_{ir}>0 를 이용해 αₚₑₛ ≤ OPT ≤ αₚₑₛ / p* 를 제시하지만, p*가 작을 경우 경계가 약해진다.

이론적 분석 외에 저자는 단일 슬롯 작업(sᵢ=eᵢ)에서는 그리디 정책이 최적임을 증명하고, 균일 가중치 경우에는 “클리크 커버 J”를 이용해 기대 최적값과 LP 최적값 사이의 차이를 (1‑Pᵒ_{ik})·α 형태로 제한한다.

실험에서는 (n,m) 조합을 다양하게 설정하고, 각 작업의 시작·종료 구간을 균등히 샘플링해 30개의 인스턴스를 생성하였다. 기대 최적값은 1,000번의 샘플링·MIS 해결을 통해 근사했고, (DLP‑P), (CDLP‑P) 및 αₚₑₛ와 비교하였다. 결과는 제안된 LP 완화가 기대 최적값에 매우 근접함을 보여주며, 특히 DSRSE의 (DLP‑P)와 CDSRSE의 (CDLP‑P)가 각각 5~10% 이내의 갭을 기록했다.

전반적으로 논문은 확률적 구간 스케줄링이라는 새로운 문제 정의와 두 충돌 모델을 체계적으로 분석하고, LP 기반 근사와 이론적 경계를 제공함으로써 향후 온라인·예측 기반 스케줄링 연구에 중요한 토대를 마련한다.