상태 의존 지연을 갖는 캡토 분수 시스템의 적응 제어와 미트타흐레프 안정성

초록

본 논문은 캡토 분수 미분 방정식에 상태 의존 지연이 포함된 비선형 시스템에 대해, 특수한 특이 커널을 갖는 Lyapunov‑Krasovskii 함수형을 이용해 Mittag‑Leffler 형태의 안정성을 확보하는 충분조건을 제시한다. 제시된 LMI 기반 조건은 계산적으로 효율적이며, 허용 가능한 지연 변동량을 명시적으로 제공한다. 이를 바탕으로 σ‑modification을 포함한 분수 차수 적응 법칙과, 상태 도함수 없이 구현 가능한 필터 기반 지연 추정기를 결합한 적응 제어기를 설계한다. 제어기의 폐루프 시스템은 궁극적으로 유계성을 보이며, 정규화 파라미터가 0에 접근할 때 수렴 한계가 사라진다. 수치 실험은 3‑뉴런 분수 Hopfield 네트워크에 적용되어, 기존 슬라이딩 모드 제어 대비 제어 에너지 99.3 % 절감 및 상태 오차 100배 이상 개선을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 캡토 정의에 기반한 분수 차수 0<α<1의 동적 시스템에, 상태에 따라 변하는 지연 τ(x) 를 포함시킨 모델을 고려한다. 전통적인 Lyapunov‑Krasovskii 접근법은 부드러운 커널을 사용하지만, 분수 미분 연산자는 (t‑s)^{‑α} 형태의 강한 특이성을 갖는다. 저자들은 이를 반영하기 위해 V₃ 항에 ξ^{α‑1} 커널을 도입한 새로운 함수형 V(t,xₜ)=V₁+V₂+V₃ 를 정의하고, 각 항의 Caputo 미분을 정밀히 계산한다. 특히 V₁의 미분에서는 Lemma 1을 이용해 2xᵀP·CDαx ≤ CDα(xᵀPx) 형태의 부등식을 적용하고, 비선형 부분을 Young 부등식으로 분리해 ε‑파라미터를 도입함으로써 교차항을 제어한다. V₂와 V₃는 각각 Q와 R 행렬을 통한 지연 구간 적분 형태이며, V₃의 특이 커널은 지연이 상태에 의존함에도 불구하고 지연 항을 효과적으로 흡수한다. 최종적으로 CDαV ≤ xᵀΩ₁₁x 형태의 LMI 조건을 도출하고, Ω₁₁+ε₃⁻¹P² < 0 이면 CDαV ≤ –γ‖x‖² 로 제한된다. Lemma 2의 분수 비교 원리를 적용하면 V(t) ≤ V(t₀)Eα(–γc⁻¹(t‑t₀)^{α}) 가 성립하고, 이는 Mittag‑Leffler 안정성 정의와 일치한다.

제어 설계 단계에서는 시스템을 선형 파라미터화 f(x)=Ax+Φ_f(x)θ_f, g(x)=Φ_g(x)θ_g 로 가정하고, 파라미터 추정 법칙을 Caputo 미분 형태로 정의한다. σ‑modification 항을 포함시켜 파라미터 추정의 발산을 방지하고, 적응 이득 Γ_f, Γ_g 를 통해 수렴 속도를 조절한다. 지연 추정은 상태 도함수 없이 1차 지수 필터 T_f·ẋ̂=–x̂+x 를 사용해 x̂(t)를 생성하고, τ̂(t)=τ(x̂(t)) 로 정의한다. Lemma 8은 필터 시간 상수 T_f 가 클수록 추정 오차가 감소함을 보이며, 이는 Hӧlder 연속성 ‑α 특성을 활용한 결과이다.

폐루프 안정성 증명은 복합 Lyapunov 함수 W=V+½(θ̃_fᵀΓ_f⁻¹θ̃_f+θ̃_gᵀΓ_g⁻¹θ̃_g) 를 구성하고, 적응 법칙과 제어 입력을 대입해 CDαW ≤ –µ‖x‖² –σ_f‖θ̃_f‖² –σ_g‖θ̃_g‖² +c₀ 형태로 정리한다. 여기서 µ는 설계된 K와 P가 만족하는 LMI, c₀는 지연 추정 오차와 σ‑modification에 기인한다. x와 파라미터 오차가 충분히 작을 경우 CDαW<0 이므로, 시스템은 궁극적으로 유계성을 갖는다. 최종적인 상한식 (21)은 σ_f,σ_g 가 작아질수록, 그리고 T_f 가 충분히 크게 선택될수록 제어 성능이 향상됨을 명시한다.

수치 실험에서는 α=0.85 로 설정한 3‑뉴런 Hopfield 네트워크에 상태 의존 지연 τ(x)=\barτ(1‑η tanh(ωᵀx)) 를 적용하였다. LMI 해석을 통해 γ=0.31, 허용 지연 증가량 Δτ*≈0.61 s 를 얻었으며, 제안 적응 제어기는 기존 분수 슬라이딩 모드 제어에 비해 제어 입력 에너지 99.3 % 절감, 최종 상태 오차 100배 이상 감소를 달성하였다. 이러한 결과는 제안된 Lyapunov‑Krasovskii 함수형과 적응 메커니즘이 분수‑지연 복합 시스템에 효과적임을 강력히 입증한다.