포아송 라구레 테셀레이션의 극한

초록

본 논문은 포아송 점 과정으로 생성된 라구레 테셀레이션과 그 쌍대 구조의 수열이 강도 함수 (f_n) 의 변화에 따라 어떻게 수렴하는지를 조사한다. 두 가지 주요 경우—동일 라구레 클래스 내의 수렴과 고전 포아송‑보로노이·델로네 테셀레이션으로의 수렴—에 대해 확률적 수렴 개념을 정의하고, 충분조건을 제시한다. 또한 전형 셀의 수렴과 β‑테셀레이션이 β→−1 일 때 고전 테셀레이션으로 수렴함을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 ( \mathbb{R}^d\times\mathbb{R} ) 공간에 정의된 포아송 점 과정 ( \eta_n ) 의 강도 측도가 ( (v,h)\mapsto f_n(h) ) 형태임을 가정한다. 여기서 (v) 는 공간 좌표, (h) 는 가중치(시간·높이)이다. 라구레 셀은 ( C((v,h),A)={w\in\mathbb{R}^d:|w-v|^2+h\le|w-v’|^2+h’\ \forall(v’,h’)\in A} ) 으로 정의되며, 이 셀들의 모임 (L(A)) 을 라구레 다이어그램이라 부른다. 가중치가 상수이면 전통적인 보로노이 다이어그램이 된다.

두 종류의 극한을 다룬다. 첫 번째는 (f_n\to f) 가 (L^1_{\text{loc}}) 수렴하고, 일정한 꼬리/모멘트 조건 (\sup_n\int_{-\infty}^{x_0}|h|^{d^2+\delta}f_n(h)dh<\infty) (C1)을 만족할 때이다. 이 경우 저자들은 ( \eta_{f_n} )와 ( \eta_f ) 를 적절히 coupling하여, 임의의 유한 반경 (R) 에 대해
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