스켈레톤 보완의 폭과 라그랑지안 장벽

초록

본 논문은 유리다양체에서 효과적인 충분히 큰 Q-디바이저의 여집합에 대한 라그랑지안 스켈레톤이 Biran이 제시한 라그랑지안 장벽이 되는 충분조건을 제시하고, 특히 복소 ℙⁿ의 초평면 배열에 대해 Gromov 폭의 상한을 정확히 계산한다. 2차원에서는 최소 3개의 일반선이 모인 경우에 한해 경계가 정확히 맞춰지는 강력한 결과를 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 Biran이 도입한 “라그랑지안 장벽”(Barrier) 개념을 일반화한다. 라그랑지안 장벽은 폐집합 B 가 존재하여 전체 다양체 M 의 Gromov 폭 W_G(M) 보다 보완 M\B 의 폭이 더 작을 때 정의된다. 기존 결과는 매끄러운 복소 초곡면 D 에 대해 스켈레톤 L 이 장벽이 되는 충분히 큰 다발 차수 k 에만 적용되었다. 저자는 이를 비정상 교차(divisor with normal crossings) 혹은 보다 일반적인 Q‑디바이저에 확대한다.

핵심 기술은 “계층화된(symplectic) 부분다양체”(stratified symplectic subvariety) V 와 그 위에 정의되는 “통합 해밀토니안 시스템”(system of commuting Hamiltonians) {r_v} 을 구축하는 것이다. 각 층 v∈V 에 대해 방사형 해밀토니안 r_v 와 그 가중치 w_v (정확히는 dim C v^⊥)를 정의하고, 이들로부터 클래스 δ_v∈π₂(M,X) 와 실수값 κ_v, λ_v (각각