고주파 데이터로 관측된 적분 확산의 예측 기반 추정법

초록

본 논문은 고주파 관측된 적분 확산 과정에 대해 예측 기반 추정함수를 이용한 파라미터 추정 이론을 전개한다. 연속시간 확산 Xₜ의 적분 Iₜ를 등간격 Δₙ으로 관측하고, n→∞, Δₙ→0, nΔₙ→∞인 고주파·무한시간 설정에서 일관성, 존재·유일성, 그리고 추가적인 비율 조건 nΔₙ²→0 하에 점근적 정규성을 증명한다. 핵심 도구는 Euler‑Itô 전개와 잠재 연산자 Uθ, ρ‑mixing 성질이다.

상세 분석

이 연구는 확산 과정 Xₜ가 정규화된 확률 미분 방정식 dXₜ = a(Xₜ;θ)dt + b(Xₜ;θ)dBₜ 로 정의되고, 그 적분 Iₜ = ∫₀ᵗ X_s ds 로 구성된 적분 확산 모델을 전제로 한다. 관측은 Iₜ의 값이 등간격 tᵢⁿ = iΔₙ (i=0,…,n)에서 측정되는 형태이며, Δₙ이 작아질수록 Y_i = Δₙ⁻¹(I_{t_iⁿ}−I_{t_{i−1}ⁿ}) ≈ X_{t_{i−1}ⁿ} 로 근사된다. 이러한 근사는 고주파 데이터가 적분 과정의 순간값을 거의 직접 관측한다는 점에서 중요한 통계적 함의를 제공한다.

논문은 먼저 확산 Xₜ가 ergodic하고 ρ‑mixing 성질을 만족한다는 가정(Condition 2.1)을 두어, 전이 연산자 Pₜ^θ와 잠재 연산자 Uθ가 잘 정의되고, 특히 Poisson 방정식 LθUθ(f)=−f 가 성립함을 보인다. 이는 예측 기반 추정함수 G_n(θ) = Σ_i Σ_j π_{i−1,j}