비압축 리치 곡률을 가진 비콤팩트 다양체에서의 최적 소보레프 부등식

초록

저자들은 리치 곡률이 유계이고 삽입 반경이 양수인 완비 비콤팩트 리만 다양체에서, Sobolev 임베딩 (W^{1,p}(M)\hookrightarrow L^{\frac{np}{n-p}}(M)) 의 최적 상수 (K(n,p)) 를 유지하면서 하한항 (B|u|{L^{p}}) 를 추가한 전역 부등식 (|u|{q}\le K(n,p)|\nabla u|{p}+B|u|{p}) 를 증명한다. 핵심은 작은 부피를 갖는 함수에 대한 지역 부등식과 등적 프로파일의 일차 비대칭 전개를 연결하는 새로운 방법이다.

상세 분석

본 논문은 기존에 강한 기하학적 가정(예: (|R|\le K,\ |\nabla R|\le K))이 필요했던 Sobolev 최적 상수 문제를, 보다 약한 가정인 (|\mathrm{Ric}|\le K)와 양의 삽입 반경 (\operatorname{inj}(M)>0)만으로 해결한다는 점에서 의미가 크다. 저자들은 먼저 전역 부등식 (1.2)를 “작은 부피”를 갖는 함수에 대해서만 증명하면 전체 공간으로 확대할 수 있음을 보인다. 이는 기존의 “작은 지름” 기반 전역화와는 달리 측도 기반의 지역화 전략으로, 최근 Moser‑Trudinger 부등식에 적용된 아이디어를 Sobolev 상황에 성공적으로 이식한 것이다.

다음 단계에서는 등적 프로파일 (I_{M}(v)=\inf{\operatorname{Per}(E):\operatorname{Vol}(E)=v}) 의 작은 부피에 대한 일차 전개
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