고정 기계 수에서 빠른 최악시간 최소화를 위한 짧은 정수선형프로그램 활용

초록

짧은 제약식만을 갖는 정수선형프로그램(ILP) 해결 알고리즘의 최신 개선을 이용해, 기계 수가 상수인 경우의 최악시간(메이크스팬) 최소화 문제와 그 변형들을 pₘₐₓ (최대 작업시간)에 대한 의사다항식 시간으로 해결한다. 기존 동적계획법·FFT 기반 방법보다 pₘₐₓ 가 중간 규모일 때 더 빠른 (\widetilde O(p_{\max}^{O(1)}+n)) 또는 (\widetilde O(p_{\max}^{O(1)}\cdot n)) 시간 복잡도를 얻는다.

상세 분석

이 논문은 “짧은 ILP”(제약식 수가 입력 크기와 무관하게 상수인 경우)의 최신 솔버가 스케줄링 분야에 미치는 영향을 체계적으로 탐구한다. 기존에는 변수 수가 제한된 ‘얇은 ILP’에 대한 Lenstra‑계열의 FPT 결과가 주류였으며, 제약식 수가 적은 경우는 Papadimitriou‑계열의 의사다항식 시간 결과에 의존했다. Eisenbrand‑Weismantel은 제약식 수와 최대 계수 (a_{\max}) 을 파라미터로 하는 (\widetilde O(M^{2}a_{\max}^{2})) 시간 알고리즘을 제시했고, Jansen‑Rohwedder는 이를 더 발전시켜 제약식 수 (M) 와 최대 계수 (a_{\max}) 에 대해 (\widetilde O\big((\sqrt{M},a_{\max})^{2M}+MN\big)) 시간을 달성했다. 논문은 이 결과를 메이크스팬 최소화 문제에 직접 적용한다는 점에서 혁신적이다.

먼저, 전통적인 ILP 0(각 작업‑기계 쌍에 대한 이진 변수와 (n+m) 개의 제약식)에서는 제약식 수가 (n) 에 비례해 짧은 ILP 조건을 만족하지 않는다. 이를 극복하기 위해 저자들은 ‘Q m || Cₘₐₓ’(기계 속도가 서로 다른 경우)에서 작업‑기계 할당을 나타내는 변수는 그대로 유지하되, 각 작업이 정확히 한 번 할당된다는 (n) 개의 제약을 하나의 총합 제약식 (\sum_{i,j}x_{i,j}=n) 으로 압축한다. 또한, 각 기계 (i) 에 대해 (\sum_{j}p_{j}x_{i,j}+s_{i}=q_{i}C) 라는 식을 도입해 슬랙 변수 (s_{i}) 를 통해 목표 메이크스팬 (C) 와의 차이를 표현한다. 이렇게 하면 제약식 수는 (m+1) 으로 고정되고, 계수의 최대값은 (p_{\max}) 뿐이다.

이때 목표 함수는 “작업 번호 가중합 (\sum_{j}j,x_{i,j})” 와 “총 작업 가중합 (\sum_{j}j)” 의 차이를 최대화하도록 설계한다. 목표 함수의 계수는 솔버의 시간 복잡도에 영향을 주지 않으므로, 기존의 ‘ILP‑unbounded’ 솔버(제한 없는 변수 상한을 가정)인 Jansen‑Rohwedder 알고리즘을 그대로 적용할 수 있다. 결과적으로 메이크스팬 결정 문제를 (\widetilde O\big(p_{\max}^{2(m+1)}+n\big)) 시간에 해결하고, 이진 탐색을 통해 최적 (C) 를 찾음으로써 전체 최적화 알고리즘이 동일한 복잡도를 갖는다.

다음으로, 용량 제한이 있는 (Q m | \text{cap},| C_{\max}) 와 작업 거부(무게 제한) (Q m | \text{rej},| C_{\max}) 문제에 대해 동일한 프레임워크를 확장한다. 용량 제한은 각 기계에 슬랙 변수 (b_{s,i}) 와 제약식 (\sum_{j}x_{i,j}+b_{s,i}=b_{i}) 을 추가함으로써 구현한다. 이 경우 제약식 수는 (2m+1) 이 되고, 시간 복잡도는 (\widetilde O\big(p_{\max}^{4m+2}+n\big)) 가 된다. 거부 문제는 별도의 “거부 기계” (M_{0}) 와 무게 제한 (W) 을 슬랙 변수 (s_{0}) 로 모델링하고, 변수 상한 (x_{i,j}\le1) 을 명시함으로써 ‘ILP‑bounded’ 형태로 변환한다. 이때도 계수 최대값은 (p_{\max}) 이므로 (\widetilde O\big((p_{\max}+w_{\max})^{(m+2)(m+3)}+n\big)) 시간에 해결한다.

또한, 제한된 형태의 ‘비동일 기계’ (R m,|,p_{i,j}\in{p_{j},\infty},|,C_{\max}) 와 두 기계만을 갖는 (R_{2},||,C_{\max}) 문제에 대해서도 특수한 ILP 모델을 설계해 동일한 솔버를 적용한다. 특히 (R_{2}) 문제는 계수 행렬이 (2) 개의 제약식만을 갖도록 재구성함으로써 (\widetilde O(p_{\max}^{6},n)) 시간을 달성한다.

전체적으로, 이 논문은 ‘짧은 ILP’ 솔버가 기존 동적계획법이나 FFT 기반 방법보다 (p_{\max}) 가 (n) 에 비해 작을 때 현저히 빠른 의사다항식 시간을 제공한다는 점을 실증한다. 또한, 솔버가 요구하는 제약식 수와 계수 크기만을 최소화하도록 모델을 재설계함으로써, 다양한 스케줄링 변형에 일관된 접근법을 제공한다는 점에서 이론적·실용적 의의가 크다.