강인한 수렴률을 갖는 명시적 적응형 시간보간법 for 확률 확산 시스템

초록

본 논문은 지역적 Lipschitz 연속성을 만족하고 다항 성장성을 보이는 확률 확산 시스템을 위해, 상태에 따라 자동으로 조정되는 적응형 시간스텝을 설계한다. 제안된 명시적 스킴은 드리프트와 확산 계수를 동시에 제어함으로써 강한 수렴률 ½(=0.5)를 달성한다. 최소·최대 스텝 제한을 두고, 최소 스텝에 도달하면 트렁케이티드 EM을 백스톱으로 사용한다. 이론적 증명과 다차원·강성 사례 실험을 통해 기존 고정 스텝 방법들(tamed EM, truncated EM, backward EM)보다 높은 효율성을 확인한다.

상세 분석

이 논문은 확률 미분 방정식(SDE)
(dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dW(t))
에 대해, 전역 Lipschitz 조건을 만족하지 않지만 지역 Lipschitz와 다항 성장 조건을 만족하는 경우를 다룬다. 기존의 고정 스텝 Euler‑Maruyama(EM) 기반 변형(tamed EM, truncated EM 등)은 계수의 초선형 성장에 대해 스텝 크기를 인위적으로 제한하거나 계수를 절단함으로써 안정성을 확보한다. 그러나 이러한 방법은 강성(stiff) 문제에서 매우 작은 스텝을 요구하거나, 절단으로 인한 편향(bias)을 초래한다.

논문은 두 개의 상수 (\hat\delta,\ \check\delta) (0<(\hat\delta\le\check\delta\le1))와 증가 함수 (\varphi:\mathbb R_{+}\to