전역 알렉산드로프 추정과 단일형 모노아므페르 방정식 전체 해의 정밀 분석

초록

본 논문은 전체 볼록 함수의 모노아므페르 결함 측정량을 이용해, 그 함수와 행렬식 1인 볼록 2차 다항식 사이의 최적 L∞ 거리 상한을 명시적 상수와 함께 제시한다. 결함 질량이 양의 유한값일 때는 불등식이 엄격히 성립하고, 함수는 유일한 2차 비대칭점으로 수렴한다. 또한, 이러한 경우에만 등호가 성립하는 특수 해(고립 특이점 문제·평면 장애물 문제)를 완전히 규정한다. 마지막으로 다중(무한) 고립 특이점을 가진 전체 해에 대해 질량 분리 조건을 제시해 엄격 볼록성과 매끄러움을 보장한다.

상세 분석

이 연구는 기존의 알렉산드로프 최대 원리를 전역적으로 확장하면서, 볼록 함수 u∈C(Rⁿ)와 행렬식이 1인 unimodular 2차 다항식 Q(x)=½xᵀAx+b·x+c 사이의 L∞ 거리 ‖u−Q‖{∞}를 Monge‑Ampère 결함 측정 μ:=Mu−L(레베그) 의 총 변동 |μ|(Rⁿ) 로 정확히 제어한다. 핵심 정리 1.1은
‖u−Q‖{∞} ≤ 2^{−2/n} d_{n,0} ω_n^{−1/n} |μ|(Rⁿ)^{2/n}
을 보여주며, 여기서 d_{n,0}=Γ(1+1/n)Γ((n−2)/n)/