비균일 구조 흐름의 최대 측도와 엔트로피 스펙트럼

초록

본 논문은 비균일하게 하이퍼볼릭한 연속 흐름에서 연속 관측함수들의 에르고딕 최적화 문제를 연구한다. 약화된 팽창성·명시성 조건을 만족하는 흐름에 대해, 최대 측도의 엔트로피가 작거나 큰 경우가 각각 조밀한 Gδ 집합을 이룬다는 두 종류의 일반적 결과를 증명하고, 이를 비양성 곡률을 갖는 폐쇄된 계급 1 다양체 위의 지오데식 흐름과 프레임 흐름에 적용한다.

상세 분석

이 연구는 연속 흐름 (F) 위에서 연속 관측함수 φ∈C(X,ℝ) 의 최대값 함수 Λ_F(φ)=sup_{ν∈M_F(X)}∫φ dν 와 그를 달성하는 측도들의 집합 M_max(φ) 에 대한 에르고딕 최적화 문제를 다룬다. 기존 연구는 주로 마코프 전이, 균일 팽창·명시성, 혹은 호러 또는 리프시츠 연속성을 가정했지만, 저자들은 비균일 팽창성(E1, E2)과 약화된 명시성(‘weak controlled specification’)을 만족하는 보다 일반적인 흐름에 초점을 맞춘다. 핵심 도구는 Climenhaga–Thompson이 제시한 ‘orbit decomposition’ (P,G,S) 구조이다. 여기서 G 는 ‘좋은’ 궤적 집합으로, 모든 규모 η>0 에 대해 약한 명시성을 갖고, 그 복잡도 함수 h_G,η(t) 가 log t 에 비해 무시될 정도로 느리게 성장한다. P와 S는 각각 ‘전처리’와 ‘후처리’ 구간을 의미하며, 이들의 엔트로피가 전체 엔트로피 h_top(F) 보다 작아야 한다.

정리 A는 H⊥ (=max{h(