Theta 끌어올림을 통한 GLₙ 위의 Whittaker 함수 새로운 접근

초록

본 논문은 Archimedean 경우의 Whittaker 함수를 구체적으로 기술하기 위해 기존의 Jacquet 적분과 미분방정식 방법을 넘어, 명시적인 theta 끌어올림을 이용한 제3의 접근법을 제시한다. 특히 (GLₙ, GLₙ₊₁) 쌍에 대한 theta 대응을 이용해 π의 Whittaker 함수와 그 theta 끌어올림 Π = π × 1의 Whittaker 함수 사이에 전파 공식(Propagation Formula)을 얻는다. 이를 통해 GLₙ(ℂ)에서 새로운 명시식과 Asai 지역 zeta 적분을 계산한다.

상세 분석

논문은 먼저 Archimedean 현지체 F에서 (GLₙ, GLₙ₊₁)이라는 타입 II 이중쌍을 고려하고, Weil 표현 ω를 Schrödinger 모델 S(Mₙ,ₙ₊₁(F)) 위에 정의한다. 주요 결과인 정리 1.1(정리 3.2)은 Π = π × 1인 경우, S⊗W(π,ψₙ) → W(Π,ψₙ₊₁)인 비영 제 0 인터팅 맵을 구체적인 적분식으로 제시한다. 여기서 εₙ=(Iₙ,0ₙ,1)이며, 적분은 Nₙ(F)\GLₙ(F)와 Nₙ₊₁(F) 위에서 이루어진다.

Archimedean 상황에서 최소 K‑type τ와 Υ를 각각 π와 Π의 최소 K‑type이라 두고, S의 조화 부분 H⊂S를 고려한다. 정리 1.2(정리 4.1)는 τ⊠Υ‑불변 조화 φ∈(S⊗(τ⊠Υ∨))∩H를 선택했을 때, Π의 최소 K‑type Whittaker 함수 W_Π(g)를 다음과 같은 2중 적분식으로 표현한다.
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