Hurwitz와 Barnes 다중 제타 함수의 평균값 및 상한

초록

본 논문은 Hurwitz형 및 Barnes형 다중 제타 함수의 평균 제곱값에 대한 정확한 비대칭식과 상한을 도출한다. Hurwitz 다중 제타는 단일 Hurwitz 제타의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 이용해 기존 평균값 결과를 직접 적용하고, 이를 바탕으로 Barnes 다중 제타의 평균값과 성장률을 동일 차수에서 추정한다. 주요 결과는 σ 구간에 따라 서로 다른 주된 항과 오차항을 제시하며, 특히 σ = r‑½에서 로그항이 나타난다.

상세 분석

논문은 먼저 Barnes 다중 제타 함수 ζ₍r₎(s,a, w)와 그 특수 경우인 Hurwitz 다중 제타 ζ₍r₎(s,a, 1)을 정의하고, 전자는 다중 합 Σ_{m₁,…,mᵣ≥0}(a+∑mⱼwⱼ)^{-s} 로, 후자는 wⱼ=1인 경우이다. 핵심 아이디어는 식 (1.6)에서 Hurwitz 다중 제타를 단일 Hurwitz 제타 ζ_H(s‑j,a)의 선형 결합으로 전개함으로써, 기존에 알려진 Hurwitz 제타의 평균 제곱값 결과를 그대로 활용할 수 있다는 점이다. 이를 통해 σ가 r‑1<σ<r 구간에서 평균값 ∫₀ᵀ|ζ₍r₎(σ+it,a,1)|²dt 를 세 가지 경우(i) r‑½<σ<r, (ii) σ=r‑½, (iii) r‑1<σ<r‑½ 로 나누어 정확한 주항과 오차항을 구한다. 특히 (i)와 (iii)에서는 (2π)^{2σ‑2r+1}·ζ(2r‑2σ)·T^{2r‑2σ} 형태의 “Barnes 항”과 Σ_{k,l}p_{r,k}(a)p_{r,l}(a)ζ_H(2σ‑k‑l,a)·T 형태의 “Hurwitz 항”이 동시에 나타난다. σ=r‑½에서는 로그항 T log T가 등장하고, 상수항에 Euler 상수 γ와 일반화된 γ(a) 가 포함된다.

다음으로 Theorem 1.3은 w가 일반적인 양의 실수 벡터일 때 평균값의 차수(order)를 제시한다. 즉 σ>r‑½에서는 주항이 T에 비례하고, σ=r‑½에서는 T log T, σ<r‑½에서는 T^{2r‑2σ}·log T 형태가 된다. 이는 기존 문헌