제곱 자유 숫자 걸음의 죽음 지점: 희소성, 일반화 및 자동 증명

초록

본 논문은 정수 N이 제곱 자유이면서, 어떤 진법 b에서 한 자리 확장 bN+d가 모두 제곱 자유가 되지 않는 “죽음 지점(dead end)”의 밀도를 정확히 구한다. 10진법에서는 그 밀도가 약 1.317×10⁻⁹ 로, 기존 확률 모델이 예측한 5.218×10⁻⁵보다 약 4·10⁴배 더 희박함을 보인다. 또한 모든 b≥2에 대해 닫힌 형태의 오일러 곱으로 표현되는 일반식과, Lean/Mathlib을 이용한 전자동 형식화 증명을 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 “죽음 지점”을 정의한다. 양의 정수 N이 제곱 자유이고, 선택된 진법 b에 대해 모든 digit d∈{0,…,b−1}에 대해 bN+d가 제곱 자유가 아니면 N은 b‑dead end이다. 기존 연구(Miller et al.)는 제곱 자유가 독립 확률 6/π²라 가정하고, 10진법에서 죽음 지점의 점근적 밀도를 5.218·10⁻⁵ 정도로 예측했다. 그러나 저자들은 이 가정이 실제 산술적 종속성을 무시한다는 점을 지적한다. 특히 소수 p≥7에 대해 p²가 10N+d를 나누면 N은 p²에 대한 하나의 잔류류에 강제로 제한되며, 서로 다른 자리(d)마다 서로 다른 소수 제곱이 필요하게 된다. 따라서 10개의 자리 모두가 동시에 제곱 자유가 아니게 되려면 다수의 서로 다른 소수 제곱이 관여해야 하므로 실제 확률은 독립 모델보다 훨씬 작다.

이를 정량화하기 위해 저자들은 포함‑배제와 체( sieve ) 이론을 결합한다. µ(n)²를 제곱 자유 지표로 사용하고, Q_S(X)=∑{n≤X} µ(n)²∏{d∈S}µ(10n+d)² 로 정의한다. 여기서 S⊆D는 고려되는 자리 집합이다. Q_S(X)는 n과 10n+d (d∈S)가 모두 제곱 자유인 경우를 셈한다. 각 소수 p에 대해 “금지 잔류류” 집합 B_p(S) 를 정의하고 ν_p(S)=|B_p(S)| 로 두어, p²가 n 혹은 10n+d를 나누는 경우를 정확히 파악한다. 이후 z‑sieve를 도입해 Q_S(X;z) 를 p≤z인 소수 제곱만을 제외한 집합으로 근사하고, C_z(S)=∏{p≤z}(1−ν_p(S)/p²) 로 평균 밀도를 얻는다. Lemma 2.3‑2.5를 통해 오차항이 O(M(z)) (M(z)=∏{p≤z}p²) 로 제어되고, 큰 소수에 의한 기여는 O(X/(z)+√X) 로 억제된다. z→∞ 로 보낼 때 C(S)=∏{p}(1−ν_p(S)/p²) 가 절대 수렴함을 보이며, 최종적으로 D(X)=∑{S⊆D}(-1)^{|S|}C(S)·X+O(X√log X) 를 얻는다. 여기서 c_dead =∑_{S⊆D}(-1)^{|S|}C(S) 가 정확한 죽음 지점 밀도이다. 10진법에 대해 수치 계산을 수행하면 c_dead≈1.317·10⁻⁹ 이 도출된다. 이는 독립 모델이 제시한 값보다 약 4·10⁴ 배 작다.

일반 진법 b에 대해서도 동일한 논리를 적용한다. digit 집합 D_b={0,…,b−1} 를 사용하고, ν_{p,b}(S) 를 정의해 같은 형태의 오일러 곱을 얻는다. 결과적으로 모든 b≥2에 대해 c_dead(b)=∑{S⊆D_b}(-1)^{|S|}∏{p}(1−ν_{p,b}(S)/p²) 가 존재함을 증명한다. 표 1은 b가 소수인 경우(2,3,5,7)의 근사값을 제시한다.

마지막으로 이 증명은 Lean/Mathlib에 전자동으로 형식화되었으며, AxiomProver라는 AI가 자연어 명제에서 시작해 정리와 증명을 생성하고, Lean 검증기를 통해 완전 검증되었다. 이는 전통적인 수학 연구와 형식화 자동화 사이의 새로운 교량을 제시한다. 또한 역사적 고찰로, 1947년 Mirsky가 이미 동일한 결과를 얻었다는 사실을 인정하고, 현재 논문의 기여는 자동 증명 체계 구현에 있음을 명시한다.