음수 지향 시퀀스 주기의 새로운 상한

초록

본 논문은 알하킴 등(2024)이 제시한 음수 지향 시퀀스(NOS)의 주기 상한을 개선한다. de Bruijn 그래프의 서브그래프에서 각 정점의 입·출 차수를 분석하고, 좌·우‑반대대칭(left‑/right‑sns) 튜플의 특성을 이용해 기존 상한보다 훨씬 더 날카로운 상한식을 도출한다. n > 2에 대해 새로운 상한은 이전 결과보다 크게 감소하지만, 아직 알려진 최대 주기와의 차이는 남아 있다.

상세 분석

음수 지향 시퀀스(NOS)는 알파벳 크기 k ≥ 3인 경우, 길이 n 튜플 혹은 그 부정 역순(−uᴿ)이 주기 안에서 한 번만 나타나는 k‑ary 순환열이다. 이 특성은 튜플이 부정 대칭(negasymmetric)인 경우를 배제한다는 점에서 기존의 지향 시퀀스(OS)와 차별된다. 논문은 먼저 (n‑1)‑튜플을 정점, n‑튜플을 간선으로 하는 de Bruijn 다이그래프 Bₖ(n‑1)을 도입하고, 부정 대칭 튜플을 제거한 서브그래프 Bₖ⁻(n‑1)를 정의한다. Lemma 2.2는 Bₖ⁻(n‑1)의 간선 수 Nₖ(n)를 n·k와 n·k/2 형태로 정확히 계산한다.

주요 아이디어는 NOS S의 “네가‑시퀀스‑서브그래프”(B⁻(S,n))가 Bₖ⁻(n‑1)의 부분그래프이며, 모든 정점이 입·출 차수가 동일해야 하는 Eulerian 특성을 가진다는 점이다(Lemma 2.3). 이를 바탕으로 정점 라벨이 좌‑반대대칭(left‑sns) 혹은 우‑반대대칭(right‑sns)인 경우 입·출 차수가 k‑1이 되고, 그 외에는 k가 된다(Lemma 3.1). 또한, 라벨이 비균일(non‑uniform)인 경우와 교대(alternating)·균일‑교대(uniform‑alternating) 여부에 따라 차수가 달라지는 세부 경우를 Corollary 3.3, 3.4에서 정리한다.

이러한 차수 제한은 Bₖ⁻(n‑1)에서 실제로 사용할 수 없는 간선들을 명시적으로 구분하게 해준다. 특히, 좌‑/우‑sns이면서 비균일인 정점에서는 반드시 하나의 간선이 B⁻(S,n)에 포함되지 않는다. 이는 전체 간선 수 2m(=주기·2)과 Bₖ⁻(n‑1)의 총 간선 수 Nₖ(n) 사이에 강한 부등식을 제공한다.

다음 단계에서는 정점이 부정 대칭(negasymmetric)인 경우 입·출 차수가 반드시 짝수임을 보이며(Lemma 3.6), 이는 전체 그래프가 짝수 차수 정점들로만 이루어져야 함을 의미한다. Lemma 3.7은 부정 대칭이면서 비균일인 경우 차수가 홀수임을 보여, 이러한 정점은 B⁻(S,n)에 존재할 수 없음을 다시 한 번 확인한다.

결과적으로, 위의 모든 제한을 종합하면 주기 m에 대한 새로운 상한식

  m ≤ ½ ·