람세리드와 스퀘어클의 일반화: 초음파 나선과 람에 곡선의 새로운 연결

초록

본 논문은 양의 정수 n에 대해 방정식 (r^{,n}= \cos(n\theta)) 인 sinusoidal spiral의 호 길이와, (x^{2n}+y^{2n}=1) 으로 정의되는 Lamé 곡선(일반화된 스퀘어클)의 면적 사이에 존재하는 적분 동등식을 일반화한다. 이를 바탕으로 임의의 양의 실수 지수와 초타원(superellipse)까지 확장하고, 라메 곡선의 방사형 부채꼴 면적과 나선 호 길이 사이의 기하학적 대응을 제시한다. 또한, 라메 곡선 위의 케플러 운동이 나선 위의 등속 운동에 대응함을 보이며, 해당 궤도에 필요한 중심력 법칙을 유도한다. 마지막으로 “policles”라 명명한 새로운 곡선군을 도입하고, 이들와 sinusoidal spiral 사이의 직접적인 매핑을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 Levin이 제시한 (\displaystyle\int_{0}^{1}!\frac{dr}{\sqrt{1-r^{4}}}= \sqrt{2}\int_{0}^{1}!4\sqrt